Demonstre o Teorema do Valor Médio para Integrais usando o Teorema do Valor Médio para derivadas (veja a Seção 4.2) para a função F x = ∫ a x f ( t ) d t .

Passo 1

Opa, bora lá! Aqui a gente tem que demonstrar o Teorema do Valor Médio para Integrais usando o Teorema do Valor Médio para derivadas para:

F x = ∫ a x f ( t ) d t

Passo 2

Então, F é contínua em [ a , b ] e derivável em ( a , b ) , então, pelo Teorema do Valor Médio, há um número c em ( a , b ) tal que F b - F a = F ' ( c ) ( b - a ) . Mas F ' x = f ( x ) pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Assim sendo, ∫ a b f ( t ) d t - 0 = f ( c ) ( b - a ) .

Resposta

Demonstração

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