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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.5 - Ex. 22

A velocidade v do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento l a uma distância r do eixo central é

v r = P 4 η l R 2 - r 2

em que P é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e η é a viscosidade do sangue (veja o Exemplo 7 da Seção 3.7). Encontre a velocidade média (em relação a r ) no intervalo 0 ≤ r ≤ R . Compare a velocidade média com a velocidade máxima.

Passo 1

Para achar a velocidade média, vamos lembrar o seguinte: Se v é contínua em [ a , b ] , então existe um número c em [ a , b ] tal que:

v c = v med = 1 b - a ∫ a b v r d r

Vamos aplicar a fórmula na nossa questão no intervalo [ 0 ,   R ] . Sendo assim,

v med = 1 R - 0 ∫ 0 R P 4 η l R 2 - r 2 d r = P 4 η l R ∫ 0 R R 2 - r 2 d r

Passo 2

Temos uma integral definida e sabemos que:

∫ a b f r d r = F b - F a

Em que F ' = f .

Dessa forma, utilizando a integral ∫ r n d r = r n + 1 n + 1 + C       n ≠ - 1 , temos:

P 4 η l R ∫ 0 R R 2 - r 2 d r = P 4 η l R R 2 r - r 3 3 0 R = P 4 η l R R 2 R - R 3 3 - R 2 ⋅ 0 - 0 3 3

= P 4 η l R R 2 R - R 3 3 = P 4 η l R 3 R 3 - R 3 3 = 2 R 2 P 12 η l = R 2 P 6 η l

v med = R 2 P 6 η l

Passo 3

Agora, para achar a velocidade máxima, devemos derivar v r = P 4 η l R 2 - r 2 e igualar a 0. Sendo assim,

v ' r = - 2 r P 4 η l = 0         → r = 0

Para r = 0 , temos v 0 = R 2 P 4 η l que é a velocidade máxima. Perceba também que no intervalo [ 0 , R ] v ( r ) decresce.

Temos então que a velocidade média é R 2 P 6 η l e velocidade máxima é R 2 P 4 η l , ou seja, a velocidade média é 2 3 da velocidade máxima.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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