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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.15 - Ex. 15

Um ponto move-se sobre a semicircunferência x 2 + y 2 = 5 , y ≥ 0 . Suponha d x d t > 0 . Determine o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da de x .

Passo 1

Sabendo que a velocidade de y é d y d t e a de x é d x d t que são as derivadas de x e y , respectivamente, temos que derivar a função x 2 + y 2 = 5 implicidamente em relação a t :

d d t x 2 + d d t y 2 = d d t 5

2 x d x d t + 2 y d y d t = 0

x d x d t + y d y d t = 0

d x d t = - y x d y d t

Passo 2

Se queremos que a velocidade de y seja o dobro da de x , queremos que:

d y d t = 2 d x d t

Assim:

d x d t = - y x d y d t = - y x 2 d x d t

1 = - 2 y x

x = - 2 y

Passo 3

Como estamos na semicircunferência, a relação entre x e y é:

x 2 + y 2 = 5

- 2 y 2 + y 2 = 5

4 y 2 + y 2 = 5

5 y 2 = 5

y 2 = 1

y = ± 1

Coo o enunciado nos diz que y ≥ 0 , temos que y = 1

Se x = - 2 y temos que

x = - 2 1

x = - 2

Logo, o ponto em que a velocidade de y seja o dobro da de x é o ponto - 2,1 .

Resposta

O ponto em que a velocidade de y seja o dobro da de x é o ponto - 2,1 .

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