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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.15 - Ex. 14

Um ponto move-se ao longo da elipse x 2 + 4 y 2 = 1 . A abscissa está variando a uma velocidade d x d t = sen ⁡ 4 t . Mostre que

a) d y d t = - x sen ⁡ 4 t 4 y

b) d 2 y d t 2 = - sen 2 ⁡ 4 t + 16 x y 2 cos ⁡ 4 t 16 y 3

Passo 1

a) Para achar d y d t , devemos derivar implicitamente a elipse em função do tempo, mas devemos lembrar também, que y é uma função de x :

d d t x 2 + d d t 4 y 2 = d d t 1

2 x ⋅ d x d t + 8 y ⋅ d y d t = 0

8 y ⋅ d y d t = - 2 x ⋅ d x d t

d y d t = - x 4 y ⋅ d x d t

Se abscissa está variando a uma velocidade d x d t = sen ⁡ 4 t , temos que

d y d t = - x 4 y ⋅ d x d t = - x sen ⁡ 4 t 4 y

Assim, provamos que d y d t = - x sen ⁡ 4 t 4 y .

Passo 2

b) Para d 2 y d t 2 , basta derivar a função d y d t , e para isso usamos a regra do produto e do quociente.

Vamos calcular, primeiramente, d d t x sen ⁡ 4 t :

d d t x sen ⁡ 4 t = d x d t ⋅ sen ⁡ 4 t + 4 x cos ⁡ 4 t

Se d x d t = sen ⁡ 4 t :

d d t x sen ⁡ 4 t = sen 2 ⁡ 4 t + 4 x cos ⁡ 4 t

Assim, para - x sen ⁡ 4 t 4 y , temos:

d 2 y d t 2 = - d d t x sen ⁡ 4 t 4 y

d 2 y d t 2 = - d d t x sen ⁡ 4 t ⋅ 4 y - x sen ⁡ 4 t ⋅ 4 d y d t 16 y 2

d 2 y d t 2 = - d d t x sen ⁡ 4 t ⋅ 4 y - x sen ⁡ 4 t ⋅ 4 d y d t 16 y 2

d 2 y d t 2 = - sen 2 ⁡ 4 t + 4 x cos ⁡ 4 t ⋅ 4 y - 4 x sen ⁡ 4 t ⋅ - x sen ⁡ 4 t 4 y 16 y 2

d 2 y d t 2 = - sen 2 ⁡ 4 t + 4 x cos ⁡ 4 t ⋅ 4 y + 4 x 2 sen 2 ⁡ 4 t 4 y 16 y 2

d 2 y d t 2 = - sen 2 ⁡ 4 t + 4 x cos ⁡ 4 t ⋅ 4 y ⋅   4 y 4 y + 4 x 2 sen 2 ⁡ 4 t 4 y 16 y 2

d 2 y d t 2 = - sen 2 ⁡ 4 t + 4 x cos ⁡ 4 t ⋅ 16 y 2 + 4 x 2 sen 2 ⁡ 4 t 4 y 16 y 2

d 2 y d t 2 = - 16 y 2 sen 2 ⁡ 4 t + 16 y 2 4 x cos ⁡ 4 t + 4 x 2 sen 2 ⁡ 4 t 4 y 16 y 2

d 2 y d t 2 = - sen 2 ⁡ 4 t 16 y 2 + 4 x 2 + 16 y 2 4 x cos ⁡ 4 t 4 y ⋅ 1 16 y 2

d 2 y d t 2 = - 4 sen 2 ⁡ 4 t 4 y 2 + x 2 + 16 y 2 4 x cos ⁡ 4 t 4 y ⋅ 1 16 y 2

d 2 y d t 2 = - sen 2 ⁡ 4 t 4 y 2 + x 2 + 16 y 2 x cos ⁡ 4 t 16 y 3

Se x 2 + 4 y 2 = 1 , temos:

d 2 y d t 2 = - sen 2 ⁡ 4 t + 16 x y 2 cos ⁡ 4 t 16 y 3

Assim, provamos que d 2 y d t 2 = - sen 2 ⁡ 4 t + 16 x y 2 cos ⁡ 4 t 16 y 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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