Um ponto move-se ao longo da elipse x^2 + 4y^2 = 1 . A abscissa está variando a uma velocidade d x / d t = sen(4t) . Mostre que a) dy/dt = - (x * sen(4t)) / (4y) b) (d²y) / (dt²) = - (sen²(4t) + 16xy²cos(4t)) / (16y³) Passo 1a) Para achar d y d t , devemos derivar implicitamente a elipse em função do tempo, mas devemos lembrar também, que y é uma função de x : d d t x 2 + d d t 4 y 2 = d d t 1 2 x ⋅ d x d t + 8 y ⋅ d y d t = 0 8 y ⋅ d y d t = - 2 x ⋅ d x d t d y d t = - x 4 y ⋅ d x d t Se abscissa está variando a uma velocidade d x d t = sen 4 t , temos que d y d t = - x 4 y ⋅ d x d t = - x sen 4 t 4 y Assim, provamos que d y d t = - x sen 4 t 4 y . Passo 2b) Para d 2 y d t 2 , basta derivar a função d y d t , e para isso usamos a regra do produto e do quociente. Vamos calcular, primeiramente, d d t x sen 4 t : d d t x sen 4 t = d x d t ⋅ sen 4 t + 4 x cos 4 t Se d x d t = sen 4 t : d d t x sen 4 t = sen 2 4 t + 4 x cos 4 t Assim, para - x sen 4 t 4 y , temos: d 2 y d t 2 = - d d t x sen 4 t 4 y d 2 y d t 2 = - d d t x sen 4 t ⋅ 4 y - x sen 4 t ⋅ 4 d y d t 16 y 2 d 2 y d t 2 = - d d t x sen 4 t ⋅ 4 y - x sen 4 t ⋅ 4 d y d t 16 y 2 d 2 y d t 2 = - sen 2 4 t + 4 x cos 4 t ⋅ 4 y - 4 x sen 4 t ⋅ - x sen 4 t 4 y 16 y 2 d 2 y d t 2 = - sen 2 4 t + 4 x cos 4 t ⋅ 4 y + 4 x 2 sen 2 4 t 4 y 16 y 2 d 2 y d t 2 = - sen 2 4 t + 4 x cos 4 t ⋅ 4 y ⋅ 4 y 4 y + 4 x 2 sen 2 4 t 4 y 16 y 2 d 2 y d t 2 = - sen 2 4 t + 4 x cos 4 t ⋅ 16 y 2 + 4 x 2 sen 2 4 t 4 y 16 y 2 d 2 y d t 2 = - 16 y 2 sen 2 4 t + 16 y 2 4 x cos 4 t + 4 x 2 sen 2 4 t 4 y 16 y 2 d 2 y d t 2 = - sen 2 4 t 16 y 2 + 4 x 2 + 16 y 2 4 x cos 4 t 4 y ⋅ 1 16 y 2 d 2 y d t 2 = - 4 sen 2 4 t 4 y 2 + x 2 + 16 y 2 4 x cos 4 t 4 y ⋅ 1 16 y 2 d 2 y d t 2 = - sen 2 4 t 4 y 2 + x 2 + 16 y 2 x cos 4 t 16 y 3 Se x 2 + 4 y 2 = 1 , temos: d 2 y d t 2 = - sen 2 4 t + 16 x y 2 cos 4 t 16 y 3 Assim, provamos que d 2 y d t 2 = - sen 2 4 t + 16 x y 2 cos 4 t 16 y 3 .RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados14) Ao meio-dia, o navio A está a 150 km a oeste do navio B . O navio A está navegando para o leste a 35 km/h, e o navioB está navegando para o norte a 25 km/h. Quão rápido varia a distância entre os Uma pipa a 50m acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de 2 m / s . A que taxa descrece o ângulo entre a linha e a horizontal depois de 100m de linha serem soltos?24. Um cocho tem 6m de comprimento, e suas extremidades tem a forma de triângulos isósceles com 1m de base e 50c m de altura. Se o cocho for preenchido com água a uma taxa de 1,2m 3 / m i n , quão rápQuando o ar se expande adiabaticamente (sem ganhar ou perder calor), sua pressão P e volume V estão relacionados pela equação P V 1,4 = C , onde C é uma constante. Suponha que em um certo instante o vA lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás está sendo comprimida a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação P V = C , onde C é uma constante. Suponha que em umVer TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Aplicação de DerivadasLista de exercícios de Taxa RelacionadaVer exercício 8.1 - 5Ver exercício 9.3 - 2n