Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 27
27. Uma barra tem 6 m de comprimento e sua massa é de 24 kg. Se a medida da densidade linear em qualquer ponto da barra varia diretamente com o quadrado da distância do ponto a um extrmo, ache o maior valor da densidade linear.
Passo 1
O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.
O exercício nos diz que a densidade varia diretamente com o quadrado da distância portanto podemos escrever a densidade da seguinte forma:
onde é a medida da distância em relação ao começo da barra.
Passo 2
Outra informação que o enunciado nos da é a massa total da barra que é de 24kg, mas sabemos que a massa total pode ser obtida a partir da integral da densidade. Usaremos essas informações para achar o valor da constante k.
O exercício nos deu o valor de . Podemos então fazer a seguinte igualdade:
Agora que temos o valor da constante basta aplica-la a função da densidade.
Passo 3
A função densidade da barra só pode ser aplicada ao intervalo de 0 a 6 que são as posições que um ponto pode assumir dentro dessa barra. Com isso temos que o máximo valor que a densidade pode assumir é quando a posição é o próprio tamanho da barra. Com isso temos:
Resposta
Densidade máxima: