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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 26

Questão 26) Calcule a integral definida:

int_0^1 s e n^3 ( (pi)/(2) t ) d t

Passo 1

Rearranjando o integrando e fazendo uma substituição u = s e n ( (pi)/(2) t ) então d u = (pi)/(2) c o s (pi)/(2) t

E usando a identidade c o s^2 x + s e n^2 x = 1 , temos que

substituindo no integrando;

(2)/(pi) int (1 - u^2) d u = (2)/(pi) ( u - (u^3)/(3) )

Voltando para variável x, temos;

int s e n^3 ( (pi)/(2) t ) d t = (pi)/(2) ( s e n (pi)/(2) x - (s e n^3 (pi)/(2) x)/(3) )

Passo 2

Aplicando os intervalos

int_0^1 s e n^3 ( (pi)/(2) t ) d = (pi)/(2) ( s e n (pi)/(2) x - (s e n^3 (pi)/(2) x)/(3) )_0^1

E substituindo os valores, temos

int_0^1 s e n^3 ( (pi)/(2) t ) d t = (4)/(3 pi)

Resposta

int_0^1 s e n^3 ( (pi)/(2) t ) d t = (4)/(3 pi)

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