Teste a convergência ou divergência das séries.

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n 2 n 2 + 4 n

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Nesse exercício vamos analisar a convergência da série ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n 2 n 2 + 4 n .

Para isso, vamos usar o Teste de Comparação, que é uma ferramenta útil quando queremos comparar nossa série com outra série que já conhecemos o comportamento.

  • Se nossa série é menor que a série convergente, ela também é convergente.
  • Se ela é maior que uma série divergente, ela também é divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno é uma função limitada. Isso significa que, para qualquer n , temos:

- 1 ≤ cos ⁡ n 2 ≤ 1

Portanto, temos que:

cos ⁡ n 2 n 2 + 4 n ≤ 1 n 2 + 4 n

Agora, simplificando 1 n 2 + 4 n , observamos que n 2 + 4 n é sempre maior que n 2 para n positivo (já que 4 n é positivo). Então:

1 n 2 + 4 n ≤ 1 n 2

Passo 3

Usando o teste de comparação, vamos comparar a nossa série original ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n 2 n 2 + 4 n com a série ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Sabemos que ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 é uma p-s��rie.

Antes de prosseguimos, vamos entender o que é uma p-série. Uma p-série é uma série do tipo ∑ n = 1 ∞ 1 n p , onde p é uma constante positiva. A convergência ou divergência de uma p-série depende do valor de p :

  • Se p > 1 , a p-série converge.
  • Se p ≤ 1 , a p-série diverge.

No nosso caso, ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 é uma p-série com p = 2 . Como 2 > 1 , sabemos que esta série é convergente.

Então temos, a partir do teste da comparação, que ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n 2 n 2 + 4 n também é uma série convergente, pois:

cos ⁡ n 2 n 2 + 4 n ≤ 1 n 2

Resposta

A série é convergente.

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