Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 24
Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Nesse exercício vamos analisar a convergência da série .
Para isso, vamos usar o Teste de Comparação, que é uma ferramenta útil quando queremos comparar nossa série com outra série que já conhecemos o comportamento.
- Se nossa série é menor que a série convergente, ela também é convergente.
- Se ela é maior que uma série divergente, ela também é divergente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno é uma função limitada. Isso significa que, para qualquer , temos:
Portanto, temos que:
Agora, simplificando , observamos que é sempre maior que para positivo (já que é positivo). Então:
Passo 3
Usando o teste de comparação, vamos comparar a nossa série original com a série . Sabemos que é uma p-s��rie.
Antes de prosseguimos, vamos entender o que é uma p-série. Uma p-série é uma série do tipo , onde é uma constante positiva. A convergência ou divergência de uma p-série depende do valor de
- Se , a p-série converge.
- Se , a p-série diverge.
No nosso caso, é uma p-série com . Como , sabemos que esta série é convergente.
Então temos, a partir do teste da comparação, que também é uma série convergente, pois:
Resposta
A série é convergente.