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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 22

Resolva o problema de valor inicial:

y d x + (3 x - x y + 2) d y = 0 , y (2) = - 1 , y < 0

Passo 1

Vamos dividir tudo por y d y ...

(d x)/(d y) + (( 3 x - x y + 2 ))/(y) = 0

(d x)/(d y) + (3 x)/(y) - x = - (2)/(y)

(d x)/(d y) + ((3)/(y) - 1) x = - (2)/(y)

Agora vamos ao fator integrante v (y) = e^(int P (y)) ...

O P ( y ) é (3)/(y) - 1 certo? Então vamos integrar isso...

int (3)/(y) - 1 d y -> 3 ln y - y

O fator integrante então é:

v (y) = e^(3 ln y - y) = y^3 e^(- y)

Passo 2

Agora a gente multiplica ambos os lados da equação (d x)/(d y) + ((3)/(y) - 1) x = - (2)/(y)

Pelo fator integrante y^3 e^(- y) :

y^3 e^(- y) x^' + y^3 e^(- y) ((3)/(y) - 1) x = - 2 y^2 e^(- y)

y^3 e^(- y) x = int - 2 y^2 e^(- y) d y = 2 e^(- y) (y^2 + 2 y + 2) + C

y^3 = (2 (y^2 + 2 y + 2) + C e^y)/(x)

Falta achar o valor da constante C agora...

Passo 3

Como y (2) = - 1 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

- 1 = (2 (1 - 2 + 2) + C e^(- 1))/(2)

C = - 4 e

Então a solução da equação é:

y^3 = (2 (y^2 + 2 y + 2) - 4 e^(y + 1))/(x)

Resposta

y^3 = (2 (y^2 + 2 y + 2) - 4 e^(y + 1))/(x)

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