Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 29
29. A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz, um capacitor com capacitância de farads e um resistor com Resistência ohms. A queda de voltagem no capacitor é , onde é a carga (em coulombs); nesse caso, a lei de Kirchooff fornece:
Mas (Veja o exemplo 3, na Seção 3.7, no volume I), assim, temos
Suponha que a resistência seja e a capacitância ; que a pilha forneça uma voltagem constante de e que a carga inicial seja . Encontre a carga e a corrente no instante .
Passo 1
Temos que , e . Substituindo em e chamando temos , isto é, .
Dividindo tudo por , temos Então a EDO é linear com e .
O fator integrante é dado por , ou seja, .
Passo 2
Sabendo que dado o fator integrante , a solução é dada por . Já sabemos que e .
Então precisamos calcular . Fazendo , temos que isto é, . E então temos, .
Então a solução é dada por
Como , temos , então .
Agora vamos encontrar a corrente. Sabemos que , então