Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 31

31. Seja P ( t ) o nível de desempenho de alguém desenvolvendo determinada habilidade como uma função do tempo de treinamento t . O gráfico de P ( t ) é chamado curva de aprendizagem. No exercício 13 na Seção 9.1 propusemos a equação diferencial

d P d t = k [ M - P t ]

Como um modelo razoável para a aprendizagem, onde k é uma constante positiva. Resolva essa equação diferencial linear e use sua solução para traçar a curva de aprendizagem.

Passo 1

Vamos chamar P t = P e d P d t = P ' para não dificultar as contas. O formato da nossa EDO passa a ser P ' = k M - k P . E então temos P ' + k P = k M .

Passo 2

Então a EDO é linear com p t = k e q t = k M .

Passo 3

O fator integrante é dado por i t = e ∫ p t d t , ou seja, i t = e ∫ k d t = e k t .

Passo 4

Sabendo que dado o fator integrante i ( t ) , a solução P ( t ) é dada por por P t = 1 i ( t ) ∫ i t q t d t + C . Já sabemos que i t = e k t e q t = k M .

Passo 5

Então precisamos calcular ∫ e k t ⋅ k M t . Fazendo k t = u , temos que k d t = d u , ou seja, d t = d u k . Então temos ∫ e k t ⋅ k M t = ∫ e u k M d u k = M e u = M e k t

Passo 6

Então a solução é dada por P t = 1 e k t M e k t + C = M + C e - k t

Passo 7

Jogando valores para as constantes, temos o seguinte gráfico ( M = 5 ,   C = 1 ,   k = 1 ) :

Resposta

P t = M + C e - k t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule(d x)/(d t) = x sin t
Calcule(d y)/(d x) = y ln x , t0
Calcule(d y)/(d x) = - 2 y + cos 2 x , t0
Suponha E , R e C constantes não nulas. Resolva a equação.R (d Q)/(d t) = (Q)/(C)
Um capital C = C t está crescendo a uma taxa d C d t proporcional a C . Sabe-se que o valor do capital no instante t = 0 era de R $20.000 e 1 ano após, R $ 60.000 . Determine o valor do capital no ins