Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de 0,1   m³/s. O vértice está a 15   m do topo e o raio do topo é de 10 m. Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h =   5 m.

Passo 1

Primeiramente devamos relacionar o volume de água com a altura h :

Se o volume do cone é dado por:

V = π   r 2   h 3

Onde r é o raio na altura h .

Temos que para toda altura h temos um raio r que é proporcional a ele, ou seja:

r h = 10 15 = 2 3

r = 2 3 h

Assim, o volume é dado por:

V = π   2 3 h 2   h 3 = 1 3 π h 3 4 9

V = 4 π 27   h 3

Passo 2

Derivando em função do tempo, temos:

d V d t = 4 π 27 ⋅ 3 h 2 ⋅ d h d t

d V d t = 4 π h 2 9 ⋅ d h d t

Assim, se o volume de água cresce a uma taxa de 0,1   m³/s, ou seja, d V d t = 0,1 e h =   5 , temos:

0,1 = 4 π ⋅ 5 2 9 ⋅ d h d t

d h d t = 0,9 100 π

Logo, a velocidade com que o nível da água está́ subindo é 0,9 100 π m/s.

Resposta

A velocidade com que o nível da água está́ subindo é 0,9 100 π m/s.

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