Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.15 - Ex. 18
Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de m³/s. O vértice está a m do topo e o raio do topo é de m. Com que velocidade o nível da água está subindo no instante em que m.
Passo 1
Primeiramente devamos relacionar o volume de água com a altura :
Se o volume do cone é dado por:
Onde é o raio na altura .
Temos que para toda altura temos um raio que é proporcional a ele, ou seja:
Assim, o volume é dado por:
Passo 2
Derivando em função do tempo, temos:
Assim, se o volume de água cresce a uma taxa de m³/s, ou seja, e , temos:
Logo, a velocidade com que o nível da água está́ subindo é m/s.
Resposta
A velocidade com que o nível da água está́ subindo é m/s.
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