Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 3
1-6. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento , , onde é medido em segundos e em pés.
a) Encontre a velocidade no instante .
b) Qual a velocidade depois de s?
c) Quando a partícula está em repouso?
d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?
e) Encontre a distância total percorrida durante os primeiros segundos.
f) Desenhe um diagrama como na figura para ilustrar o movimento da partícula.
3.
Passo 1
Fala aí. Tudo belezinha por aí?
Bom, essa questão deu pra gente a função
Dizendo que uma partícula se move segundo a lei do movimento , , onde é medido em segundos e em pés.
E pede pra gente analisar essa função e responder as seguintes perguntas:
a) Encontre a velocidade no instante .
b) Qual a velocidade depois de s?
c) Quando a partícula está em repouso?
d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?
e) Encontre a distância total percorrida durante os primeiros segundos.
f) Desenhe um diagrama como na figura para ilustrar o movimento da partícula.
Eita! Bastante coisa, né? Mas calma. Vamos relembrar algumas coisas importantes aqui:
Quando temos a função que determina a velocidade de uma partícula com o passar do tempo, podemos encontrar a função velocidade derivando a função posição. Isso vai ajudar a gente a resolver todos os itens.
Vamos ver cada um deles no passo a passo. Bora!
Passo 2
Precisamos, no item a) encontrar a velocidade no instante .
Lembrando que derivada da função posição, é a velocidade, teremos:
Prontinho. Agora vamos usar essa função velocidade para responder aos outros itens.
Passo 3
No item b) vamos calcular a velocidade depois de s.
Para isso apenas precisamos substituir , e calcular. Veja:
Show. Pr��xima!
Passo 4
Nesse passo, devemos responder, c) Quando a partícula está em repouso.
(c)
A partícula vai estar em repouso quando .
Assim, basta igualar a função velocidade a zero e resolver a equação. Veja:
Eita. Isso nos deu uma equação de segundo grau. Então, vamos cair pra dentro dela.
Fatorando, ficamos com:
Que nos dará as raízes:
ou
E podemos dizer que nesses instantes a partícula se encontrará em repouso.
Passo 5
Agora vamos dizer d) Quando a partícula está se movendo no sentido positivo.
(d)
A partícula está se movendo no sentido positivo quando .
E agora o que era uma equação, se torna uma inequação. Veja:
Como já sabemos as raízes, basta fazer a análise de sinal.
Que nos dirá que a partícula se move no sentido positivo
ou
Passo 6
E agora chegou a hora de responder o item e). Para sabermos a distância percorrida, temos que somar as distâncias percorridas tanto no sentido positivo quanto negativo.
Vamos fazer de até .
A distância percorrida nesse intervalo será:
Vamos fazer de até .
A distância percorrida nesse intervalo será:
Para terminar, faremos de até :
A distância percorrida nesse intervalo será:
Para sabermos a distância percorrida, precisamos apenas somar essas distâncias.
Distância Percorrida é
Passo 7
E no item f), faremos o diagrama!
Perceba que ele representa bem o que calculamos, pois vemos que de a a partícula se move pra frente até , depois no intervalo de a a partícula volta para trás por outros E, por fim, ela anda para frente de até , por outros .
E assim, temos nossa reposta com a análise desse movimento.
Resposta
(a)
(b)
(c)
ou
(d)
ou
(e)
Distância Percorrida é
(f)
