Enunciado

29-30 Encontre um valor para a constante k , se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.

29. (a) f x =   7 x - 2 ,         x ≤ 1 k x 2 ,         x > 1

(b) f x = k x 2 ,         x ≤ 2 2 x + k ,         x > 2

Passo 1

Para fazermos a letra (a), devemos calcular os limite laterais e garantir que os resultados sejam iguais ao valor de x aplicado na função.

Assim,

lim x → 1 - ⁡ 7 x - 2

lim x → 1 - ⁡ 7 × 1     - 2

lim x → 1 - f x = ⁡ 5

lim x → 1 + ⁡ k x 2

k  lim x → 1 + ⁡ x 2

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = k

E,

f 1 = 7 × 1 - 2 = 5

Agora, precisamos ter

lim x → 1 + ⁡ k x 2 = lim x → 1 - ⁡ 7 x - 2 = f ( 1 )

Como lim x → 1 + ⁡ k x 2 = f 1 = 5 , precisamos apenas que lim x → 1 + ⁡ k x 2 = 5 .

Ou seja,

k = 5

Passo 2

Para fazermos a letra (b), devemos calcular os limite laterais e garantir que os resultados sejam iguais ao valor de x aplicado na função.

Assim, lim x → 2 - ⁡ k x 2

k  lim x → 2 - ⁡ x 2

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = 4 k

lim x → 2 + ⁡ 2 x + k

lim x → 2 + ⁡ 2 × 2 + k

lim x → 2 + ⁡ f x = 4 + k  

E,

f 2 = 2 2 × k = 4 k

Agora, precisamos ter

lim x → 2 - ⁡ k x 2 =   lim x → 2 + ⁡ 2 x + k = f 2

Como lim x → 2 + ⁡ 4 + k = f 2 = 4 k , precisamos apenas que lim x → 2 + ⁡ 4 + k = 4 k .

Ou seja,

4 + k = 4 k

3 k = 4

k = 4 3

Resposta

a) k = 5

b) k = 4 3

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