15 - d x / d t = x (2 - x - y), d y / d t = -x + 3y - 2xy

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = x ( 2 - x - y ) e (d y)/(d t) = - x + 3 y - 2 x y

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

O objetivo é encontrar todos os pontos críticos do sistema acima.

Agora, para os pontos críticos,

x ( 2 - x - y ) = 0 ... ... . ( 1 )

E,

- x + 3 y - 2 x y = 0 ... ... . ( 2 )

Agora a equação ( 1 ) implica que,

Com x = 0 , temos y = 0 .

Com x = 1 , temos a equação como (2 - 1 - y) = 0 que pode ser resolvida se y = 1

E a equação ( 2 ) implica que,

Caso x = 3 temos y = - 1 .

Assim, temos quatro pontos críticos, que são:

(0,0) , (1 , 1) , (3 , - 1)

Passo 2

b) Em seguida, queremos traçar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.

Este é o retrato da fase:

Passo 3

c)

Para o ponto crítico, ( 1 , 1 ) todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.

Para o ponto crítico,  ( 3 , - 1 ) é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.

Para o ponto crítico ( 0,0 ) temos um nó instável.

Passo 4

d)

Bacia de atração é anti-horário.

Resposta

  1. Os pontos críticos são (0,0) , (1,1) , (3 , - 1)
  2. O campo de direção é mostrado abaixo:
  3. Para o ponto crítico, ( 1,1 ) todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.
  4. Para o ponto crítico,  ( 3 , - 1 ) é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.

    Para o ponto crítico ( 0,0 ) temos um nó instável.

  5. Bacia de atração é anti-horário.
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