Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 15
15 -
Passo 1
As equações dadas são:
O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.
Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:
O objetivo é encontrar todos os pontos críticos do sistema acima.
Agora, para os pontos críticos,
E,
Agora a equação implica que,
Com temos .
Com , temos a equação como que pode ser resolvida se
E a equação implica que,
Caso temos .
Assim, temos quatro pontos críticos, que são:
Passo 2
b) Em seguida, queremos traçar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.
Este é o retrato da fase:
Passo 3
c)
Para o ponto crítico, todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.
Para o ponto crítico, é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.
Para o ponto crítico temos um nó instável.
Passo 4
d)
Bacia de atração é anti-horário.
Resposta
- Os pontos críticos são
- O campo de direção é mostrado abaixo:
- Para o ponto crítico, todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.
- Bacia de atração é anti-horário.
Para o ponto crítico, é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.
Para o ponto crítico temos um nó instável.