30. Fontes de lava vulcânicas Embora a erupção do Kilauea Iki no Havaí, em novembro de 1959, tenha começado com jorras pela parede da cratera, a atividade ficou depois restrita a uma única abertura no fundo da cratera, que em certo momento lançou lava a 1.900 pés de altura (um recorde havaiano). Qual foi a velocidade de saída da lava em pés por segundo? E em milhas por hora? (Dica: se v₀ é a velocidade de saída de uma partícula de lava, sua altura no instante t segundos mais tarde será de s = v0 * t - 16 * t^2 pés. Comece determinando o instante em que d s / d t = 0 . Despreze a resistência do ar.)

Passo 1

Nós queremos descobrir v 0 , para isso podemos usar a equação s = v 0 t - 16 t 2 . Porém nós não temos nenhuma posição em que conhecemos, simultaneamento, os valores de s e de t .

Então precisamos encontrar outra função, em que também não teremos a resposta diretamente, e montar um sistema com essas duas equações.

Passo 2

Se usarmos a dica do enunciado e derivarmos a função do espaço, teremos a função da velocidade:

d s d t = v = v 0 - 32 t

Sabemos que quando a lava atingir sua altura máxima sua velocidade será igual a zero. Calculando esse caso termos:

0 = v 0 - 32 t h   m a x

v 0 = 32 t h   m a x

Usando a equação do espaço, para quando ele está na altura máxima, temos:

s = v 0 t h   m a x - 16 t h   m a x 2

1.900 = v 0 t h   m a x - 16 t h   m a x 2

Passo 3

Juntando as duas equações vamos ter:

1.900 = v 0 v 0 32 - 16 v 0 32 2

1.900 = v 0 2 32 - v 0 2 64

1.900 = 2 v 0 2 - v 0 2 64

v 0 2 = 1900 ( 64 )

v 0 = 348,7   p é s / s

Passo 4

Agora transformando v 0 = 348,7   p é s / s para milhas por hora:

v 0 = 348,7 p é s s ⋅ 3600 s 1 h ⋅ 1 m i l h a 5280 p é s

v 0 = 238   m p h

Resposta

v 0 = 348,7   p é s / s

v 0 = 238   m p h

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