Enunciado

30-47 Encontre a derivada.

42. y = x 2 senh - 1 ⁡ 2 x

Passo 1

Fala meus bonitos.

Nessa questão queremos encontrar a derivada de:

y = x 2 senh - 1 ⁡ 2 x

Para encontrar essa derivada vamos precisar usar a regra do produto, pois temos o produto de duas funções.

d d x   f g = d f d x ⋅ g + f d g d x

Além dela, vamos precisar da regra da cadeia,pois temos a composição de duas funções, isso é, uma função dentro de outra. Para deriva-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela função de dentro:

d d x   f g x = d f g x d g x ⋅ d g x d x

E por fim, vamos lembrar que a derivada da função Arco Seno Hiperbólico ( s e n h - 1 ) é a seguinte:

d d x s e n h - 1 x = 1 1 + x 2

Passo 2

Para começar a resolver essa derivada precisamos da regra do produto:

y = x 2 senh - 1 ⁡ 2 x

y ' = d d x x 2 ⋅ senh - 1 ⁡ 2 x + d d x senh - 1 ⁡ 2 x ⋅ x 2

y ' = 2 x ⋅ senh - 1 ⁡ 2 x + d d x senh - 1 ⁡ 2 x ⋅ x 2

Aqui vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar a seguinte expressão:

d d x senh - 1 ⁡ 2 x

Aplicando a regra temos:

d d x senh - 1 ⁡ 2 x = d   s e n h - 1 2 x d 2 x ⋅ d 2 x d x

d d x senh - 1 ⁡ 2 x = 1 1 + 2 x 2 ⋅ 2

Agora, basta substituir na expressão original:

y ' = 2 x senh - 1 ⁡ 2 x + 2 1 + 2 x 2 ⋅ x 2

y ' = 2 x senh - 1 ⁡ 2 x + 2 x 2 1 + 2 x 2

Resposta

y ' = 2 x senh - 1 ⁡ 2 x + 2 x 2 1 + 2 x 2

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Determine a derivada de y em função da variável adequada.
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