Encontre a derivada.

y = tgh^(-1)(raiz(x))

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

y = tgh - 1 ⁡ x

E nosso objetivo é calcular sua derivada.

Parece complicado?

Quando derivamos essa função devemos aplicar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Veja só!

Passo 2

Usando os termos da nossa função, podemos escrever:

y ' = tgh - 1 ' ⁡ x ⋅ d d x x

A derivada da função inversa da tangente hiperbólica dada por

d tanh - 1 ⁡ x d x = 1 1 - x 2

Então, no nosso caso, tratamos a função de dentro como uma variavel, ou seja

tgh - 1 ' ⁡ x = 1 1 - x 2 = 1 1 - x

Já pela regra da potencia, temos

d d x x = 1 2 x

Substituindo tudo isso em y ' , vamos obter

y ' = 1 1 - x ⋅ 1 2 x

y ' = 1 2 x 1 - x

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

y ' = 1 2 x 1 - x

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