Enunciado

a) Se deslocarmos uma curva para a esquerda, o que acontece com sua reflexão em torno da reta y = x ? Em vista desse princípio geométrico encontre uma expressão para a inversa de g x = f ( x + c ) , onde f é uma função um a um.

b) Encontre uma expressão para a inversa de h x = f ( c x ) , onde c ≠ 0 .

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo belezinha com você?

No item a) dessa questão teremos que dizer o que acontece com a reflexão em torno da reta y = x , se deslocarmos uma curva para a esquerda.

E com base nisso, encontrar uma expressão para a inversa de g x = f ( x + c ) , onde f é uma função um a um.

Para fazer isso, vamos analisar o deslocamento de maneira gráfica. Isso vai ajudar bastante a termos uma ideia do que está acontecendo.

Já no item b) teremos que encontrar uma expressão para a inversa de h x = f ( c x ) , onde c ≠ 0 .

Passo 2

Para entender o que vai acontecer com a nossareflexão em torno da reta y = x , se deslocarmos uma curva para a esquerda, vamos supor uma função qualquer e desenhá-la junto da reta y = x num eixo cartesiano.

Vamos escolher a função

f x = e x

Obs: poderia ser qualquer função, mas essa ficará de um lado só da reta e a gente vai poder ver com mais clareza. Ok?

Veja o gráfico dela:

Agora vamos colocar também sua reflexão em torno da reta y = x :

Agora vamos ver o que acontece se deslocarmos a curva para a esquerda. Vamos fazer isso em duas unidades.

Assim, nossa função será:

f x + 2 = e x + 2

E veja nosso novo gráfico e sua nova reflexão em linha cheia abaixo:

O que aconteceu com nosso reflexo é que ele também ficou deslocado, mas agora em 2 unidades para baixo. Veja:

Assim, podemos concluir que:

Se deslocarmos uma curva para a esquerda, então, seu reflexo com relação a reta y = x (função inversa) será deslocada a mesma quantidade de unidades para baixo. Assim, a expressão que o problema nos pede pode ser representada por:

g x = f x + c → g - 1 x = f - 1 x - c

Passo 3

Agora vamos ao item b)

temos que encontrar uma expressão para a inversa de h x = f ( c x ) , onde c ≠ 0 .

Perceba que quando multiplicamos a variável por um valor, causamos a compressão ou o alargamento da curva

Assim, se comprimirmos (ou esticarmos) uma curva de forma horizontal, o reflexo em relação a reta y = x , ou seja, sua inversa será comprimida (ou esticado) de forma vertical por um mesmo fator. Então,

h x = f c x → h - 1 x = 1 c ⋅ f - 1 ( x )

E prontinho, chegamos as nossas respostas.

Resposta

a )   g - 1 x = f - 1 x - c

b )   h - 1 x = 1 c ⋅ f - 1 x

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