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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.15 - Ex. 8

Seja f t = t t 2 + 4 .

a) Estude o sinal de f ' t .

b) Estude o sinal de f ' ' t .

c) Calcule lim t → + ∞ ⁡ t t 2 + 4 e lim t → - ∞ ⁡ t t 2 + 4 .

d) Utilizando as informações acima, esboce o gráfico de f .

Passo 1

a) Derivando f pela regra do quociente temos:

f ' t = t 2 + 4 - 2 t 2 t 2 + 4 2 = 4 - t 2 t 2 + 4 2

f ' t = 4 - t 2 t 2 + 4 2

Temos que na derivada, o denominador é um termo elevado ao quadrado, então ele nunca será negativa e também não será nulo. Já o numerador é uma parábola cuja concavidade é votada para baixo, assim, sua parte positiva está entre as raízes e a parte negativa está na região externa às raízes.

Como as raízes são:

4 - t 2 t 2 + 4 2 = 0

4 - t 2 = 0

t 2 = 4

t = 2

Ou

t = - 2

Então, f ' t > 0 para t ∈ - 2,2 , f ' t < 0 para t ∈ - ∞ , - 2 ∪ 2 , + ∞ e f ' t = 0 para t = 2 ou t = - 2 .

Passo 2

b) Derivando f ' t = 4 - t 2 t 2 + 4 2 , temos:

f ' ' t = - 2 t t 2 + 4 2 - 4 - t 2 2 t 2 + 4 2 t t 2 + 4 4

Podemos dividir tudo por t 2 + 4

f ' ' t = - 2 t t 2 + 4 - 4 - t 2 4 t t 2 + 4 3

f ' ' t = 2 t - t 2 + 4 - 2 4 - t 2 t 2 + 4 3 = 2 t t 2 - 12 t 2 + 4 3

f ' ' t = 2 t t 2 - 12 t 2 + 4 3

Temos que t 2 + 4 3 sempre será positivo e as raízes de 2 t t 2 - 12 são:

2 t t 2 - 12 = 0

t = 0

Ou

t 2 - 12 = 0

t = 12

Ou

t = - 12

Para t < - 12 :

t 2 > 12

t 2 - 12 > 0

2 t t 2 - 12 < 0

f ' ' t < 0

Para - 12 < t < 0 :

0 < t 2 < 12

t 2 - 12 < 0

2 t t 2 - 12 > 0

f ' ' t > 0

Para 0 < t < 12 :

0 < t 2 < 12

t 2 - 12 < 0

2 t t 2 - 12 < 0

f ' ' t < 0

Para t > 12 :

t 2 > 12

t 2 - 12 > 0

2 t t 2 - 12 > 0

f ' ' t > 0

Então, f ' ' t ≥ 0 para t ∈ - 12 , 0 ∪ 12 , + ∞ , f ' ' t < 0 para t ∈ - ∞ , - 12 ∪ 0 , 12 .

Passo 3

c) Para calcular lim t → + ∞ ⁡ t t 2 + 4 e lim t → - ∞ ⁡ t t 2 + 4 , devemos por t 2 em evidência:

t t 2 + 4 = t 2 1 t t 2 1 + 4 t 2 = 1 t 1 + 4 t 2

Assim:

lim t → + ∞ ⁡ t t 2 + 4 = lim t → + ∞ ⁡ 1 t 1 + 4 t 2 = 0 1 + 0 = 0

E

lim t → - ∞ ⁡ t t 2 + 4 = lim t → - ∞ ⁡ 1 t 1 + 4 t 2 = 0 1 + 0 = 0

Logo, lim t → + ∞ ⁡ t t 2 + 4 = 0 e lim t → - ∞ ⁡ t t 2 + 4 = 0 .

Passo 4

d) Com as informações coletadas, temos então o seguinte gráfico:

Resposta

a) f ' t > 0 para t ∈ - 2,2 , f ' t < 0 para t ∈ - ∞ , - 2 ∪ 2 , + ∞ e f ' t = 0 para t = 2 ou t = - 2 .

b) f ' ' t ≥ 0 para t ∈ - 12 , 0 ∪ 12 , + ∞ , f ' ' t < 0 para t ∈ - ∞ , - 12 ∪ 0 , 12 .

c) lim t → + ∞ ⁡ t t 2 + 4 = 0 e lim t → - ∞ ⁡ t t 2 + 4 = 0 .

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