31. Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, porque a função é continua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.

M(x) = raiz(1 + 1/x)

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

M x = 1 + 1 x

E queremos descobrir o domínio de F x e precisamos usar os teoremas 4, 5, 7 ou 9 pra explicar por que que a nossa função é contínua em todo o seu domínio!

Parece complicado?

Primeiro vamos ver o que os teoremas dizem

Analisando a função M , podemos perceber que para resolver esse problema temos que usar os teoremas 4 , 7 e 9 .

Vamos usá-los para responder essa questão!

Já para determinar o domínio da função vamos analisar os valores que x pode assumir para que M exista.

Bora lá!

Passo 2

Antes de qualquer coisa, vamos reescrever a função:

M x = 1 + 1 x = x + 1 x = f g x

Onde:

f x = x

g x = x + 1 x

Ainda podemos dizer que

g x = h x l x

Como h ( x ) e l ( x ) são funções polinomiais, pelo teorema 7 elas são contínuas em todo o seu domínio.

Pelo teorema 4 temos que g ( x ) é contínua em todo o seu domínio com g ( a ) ≠ 0 . f ( x ) é uma função raiz, então pelo teorema 7 ela também é contínua em todo o seu domínio.

Assim, finalmente, pelo teorema 9 temos que M ( x ) é contínua pra todo o domínio de f ( x ) e g ( x ) .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos definir o domínio:

M x = x + 1 x

Para M existir, a raiz deve ser positiva e o denominador diferente de zero, então:

x + 1 x ≥ 0

1 + 1 x ≥ 0

Analisando temos:

x ≥ - 1

x < 0

Então:

D o m M = - ∞ ,   - 1 ∪ ( 0 ,   ∞ )

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

D o m M = - ∞ ,   - 1 ∪ ( 0 ,   ∞ )

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