Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 4
Determine se é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função tal que .
Passo 1
E aí, galera de meu coración! Tudo beleza?
Olha só, a questão nos deu isso aqui, ó:
E pede pra gente determinar se é ou não um campo vetorial conservador.
E o que é issoo? Help! :o
Simples: um campo é conservativo quando as derivadas mistas das componentes são iguais, ou seja:
Para ser conservativo:
E se ele for conservativo, a questão pede também para determinar uma função tal que
Passo 2
Nossa função é essa daqui:
Encontrando as derivadas parciais:
Como as derivadas parciais deram iguais, então podemos concluir que é conservativo!
Agora que determinamos isso, precisamos determinar uma função potencial para , mas como fazemos isso?
Vamos pegar qualquer uma das componentes de e integrar em relação à sua variável. Se liga:
O resultado disso será:
Espera aí, da onde saiu essa função ?
Quando realizamos uma integração indefinida surge uma constante, não é? Como nossa função é uma função apenas de , quando derivarmos-a aquela desaparece, então ela funciona como uma constante! Agora o que temos que fazer é determinar quem é essa função, então bora lá!
Passo 3
O que precisamos fazer agora é derivar a função potencial que encontramos em relação à , se liga:
De acordo com o passo 1, temos que a componente do campo dado é:
Igualando as equações, teremos que:
Integrando para descobrir :
Com isso, podemos completar a função que queremos:
Resolvido!
Resposta
Conservativo