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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 15

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, encontre uma função f tal que F = ∇ f .

F x , y , z = z   c o s   y i + x z   s e n   y j + x cos ⁡ y k

Passo 1

Tudo bom, pessoal?

Nessa questão precisamos saber se esse campo vetorial é conservativo:

F x , y , z = z   c o s   y i + x z   s e n   y j + x cos ⁡ y k

E se for, precisaremos encontrar uma função para F = ∇ f . Moleza, né?

Primeiro, como um campo conservativo é conservativo?

Se tivermos um campo em R 3

F = P i + Q j + R k

Se existirem as derivadas parciais de P ,   Q   e   R e se o rotacional r o t   F = 0 , então teremos um campo vetorial conservativo.

Já sabemos que a expressão para o rotacional é:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

E que nas derivadas parciais, a gente deriva uma mesma função em relação a x ,   y   e z , individualmente.

Passo 2

Sabendo que

F x , y , z = z   c o s   y i ⏟ P + x z   s e n   y j ⏟ Q + x cos ⁡ y ⏟ R k

Então vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

Primeiro com P :

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y z   c o s   y = - z   s e n   y

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z z   c o s   y = cos ⁡ y

Depois com Q :

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x z   s e n   y = z   s e n   y

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z x z   s e n   y = x   s e n   y

E por fim com R :

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y x cos ⁡ y = - x   s e n   y

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x x cos ⁡ y = cos ⁡ y

Jogando na fórmula do passo anterior, podemos calcular o rotacional do campo vetorial:

r o t   F = - x   s e n   y - x   s e n   y i + cos ⁡ y - cos ⁡ y j + z   s e n   y + z   s e n   y k

r o t   F = - 2 x   s e n   y i ^ + 2 z   s e n   y k ^

Como o valor do rotacional de F é diferente de zero, o campo é não conservativo.

Resposta

O campo é não conservativo.

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