Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F(x, y, z) = x^3 * y * z^2 + j^ + y^4 * z^3 + k^

Passo 1

Faala, pessoal!

Nessa questão temos um campo vetorial e precisamos calcular o rotacional dele.

Para um campo vetorial no R 3 definido por F → = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , o rotacional é calculado assim:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

Do nosso campo vetorial:

F → x , y , z = x 3 y z 2   j ^ + y 4 z 3   k ^

Temos:

P = 0

Q = x 3 y z 2

R = y 4 z 3

Então vamos calcular essas derivadas parciais e substituir nessa fórmula pra acharmos o rotacional!

Passo 2

Pra primeira coordenada do rotacional temos:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando R em função de y , considerando x e z como constantes:

∂ R ∂ y = ∂ y 4 z 3 ∂ y = 4 y 3 z 3

Agora derivando Q em função de z , com x e y constantes:

∂ Q ∂ z = ∂ x 3 y z 2 ∂ z = 2 x 3 y z

Então:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = 4 y 3 z 3 - 2 x 3 y z

Passo 3

Na segunda componente, temos:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Como P = 0 ,

∂ P ∂ z = 0

E derivando R em função de x , mantemos y e z constantes:

∂ R ∂ x = ∂ y 4 z 3 ∂ x = 0

Então:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = 0

Passo 4

E a última coordenada:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

De novo, P = 0 , então:

∂ P ∂ y = 0

Derivando Q em função de x , considerando y e z como constante:

∂ Q ∂ x = ∂ x 3 y z 2 ∂ x = 3 x 2 y z 2

Então:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 3 x 2 y z 2

Passo 5

E agora juntamos tudo no rotacional:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

rot ⁡ F → = 4 y 3 z 3 - 2 x 3 y z i ^ + 3 x 2 y z 2 k ^

Resposta

rot ⁡ F → = 4 y 3 z 3 - 2 x 3 y z i ^ + 3 x 2 y z 2 k ^

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