Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 7
Determine se a série converge ou diverge.
7.
Passo 1
Rapaz, essa daí é pra gerar brigas e acabar com amizades, uma briga tão feia quanto biscoito e bolacha.
Galera, a questão nos deu uma série e quer saber se ela é convergente ou divergente. Moleza, né?
Primeiro, analisando esta série, ela se parece com alguma outra série que você já viu até agora?
SIM! Com a série harmônica:
Então, a estratégia que iremos usar é o Teste da Comparação, já que temos uma série parecida com a nossa e sabemos sua classificação.
Portanto, se a série harmônica é sempre divergente, quando a gente a comparar com a série que nos foi dada, certamente ela também será divergente.
Em outras palavras, comparamos duas séries s e de termos positivos, e se convergir, também converge. Se divergir, a outra diverge, sacou?
Calma que você vai entender tudo!
Passo 2
Então, vamos comparar essa série do enunciado com uma outra bem parecida:
De onde surgiu isso??
Calma, observa que essa série nova que a gente vai usar para comparação é basicamente uma série harmônica também!
Se a gente multiplicar por da série harmônica, o resultado será , entendeu?
Viu que a série harmônica se parece com a nossa?
Então se a gente multiplicar o numerador e o denominador por , ela fica com uma carinha ainda mais parecida com a que nos foi dada no enunciado.
e assim a gente usa para o teste da comparação, show?
Passo 3
Agora que temos duas séries para comparar, vou “chutar” qualquer sinal ( ou ) e ver o que acontece.
Multiplicando meio pelos extremos:
Agora multiplicando nos dois lados da inequação:
Essa comparação faz sentido? Sim!!
Então, podemos estender essa sentença para a série como um todo:
Logo, se a série harmônica sempre é divergente, a gente fez a comparação e confirmou que a série dada na questão também é divergente, como a notação que te mostrei lá em cima: se , e diverge, então também diverge!
Resposta
Série divergente.