1. Desenhe a curva y = 1/3 * x³ + 1/(4x), x > 0.
  2. Encontre a função comprimento do arco para essa curva com o ponto inicial P_0(1, 7/12)
  3. Desenhe a função comprimento de arco

Passo 1

Muito bem, na letra a precisamos somente de desenhar a função com valores de x positivos.

Simples, não é? Então bora começar:

Na letra b queremos a função do comprimento do arco s(x), mas antes vamos achar:

1 + g ' ( x ) 2

Se a nossa função g é:

g x = 1 3 x ³ + 1 4 x

A sua derivada é:

g ' x = 1 3 . 3 x 2 + 1 4 . - 1 . x - 1 - 1

g ' ( x ) = x 2 - 1 4 x ²

Na raiz:

1 + g ' ( x ) 2 = 1 + x 2 - 1 4 x ² 2

1 + g ' ( x ) 2 = 1 + x 4 - 1 2 + 1 16 x 4 = x 4 + 1 2 + 1 16 x 4

Para conseguirmos tirar o termo da nossa raiz, vamos transformar novamente em quadrado perfeito.

Bem fácil neste caso, certo?

1 + g ' ( x ) 2 = x 2 + 1 4 x ² 2 = x 2 + 1 4 x ²

Pronto ! Agora podemos achar nossa função.

Passo 2

Vamos lembrar como é a função do arco?

s x = ∫ x 0 x 1 + g ' ( t ) 2 . d t

Só tivemos uma mudança da variável x para a t. Sendo assim:

1 + g ' ( t ) 2 = t 2 + 1 4 t ²

Até aqui tudo tranquilo. Quanto aos intervalos vamos do x do ponto inicial até um ponto qualquer:

s x = ∫ 1 x t 2 + 1 4 t 2 . d t

s x = ∫ 1 x t ² . d t + ∫ 1 x 1 4 t 2 . d t

Tiramos as constantes:

s x = ∫ 1 x t ² . d t + 1 4 ∫ 1 x t - 2 . d t

E agora podemos resolver:

s x = t 3 3 + 1 4 t - 1 - 1 x 1

s x = t 3 3 - 1 4 t x 1

Aplicando o intervalo:

s x = x 3 3 - 1 4 x - 1 3 - 1 4 .

s x = x 3 3 - 1 4 x - 4 - 3 12 = x 3 3 - 1 4 x - 1 12

Sendo assim, a função arco é:

s x = x 3 3 - 1 4 x - 1 12 ,     p a r a   x ≥ 1

Passo 3

Nós já temos uma função, então vamos desenhar !

Resposta

  1. s x = x 3 3 - 1 4 x - 1 12 ,     p a r a   x ≥ 1
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