Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 32
32. Prove as propriedades 2 e 3 de funções pares e ímpares, como enunciadas no texto.
Passo 1
Fala galera!!
Para provar a propriedade 2, vamos tomar as funções ímpares e . Então:
e
Passo 2
Uma parte da propriedade 2 diz o seguinte:
A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar.
Vamos considerar uma . Temos que:
Temos então o seguinte:
Como e são funções impares, então:
Assim, está provado que a soma de duas funções ímpares é ímpar.
Passo 3
Fazendo para a diferença, temos:
Temos então o seguinte:
Como e são funções impares, então:
Assim, está provado que a diferença de duas funções ímpares é ímpar.
Passo 4
A outra parte da propriedade 2 diz o seguinte:
O produto (quociente) de duas funções ímpares é par.
Vamos considerar uma . Temos que:
Temos então o seguinte:
Como e são funções impares, então:
Temos então que o produto de duas funções ímpares é par.
Passo 5
Fazendo para o quociente, temos:
Temos então o seguinte:
Como e são funções impares, então:
Temos então que o quociente de duas funções ímpares é par.
Passo 6
Agora, vamos provar a propriedade 3. Uma parte dela diz o seguinte:
A soma (diferença) de uma função ímpar e uma função par não é par nem ímpar
Vamos considerar uma . Temos que:
Temos então o seguinte:
Como é impar e é uma funções par, então:
Temos que não é igual a nem a e, portanto, a soma de uma função ímpar e uma par não é nem par nem par.
Passo 7
Fazendo para a diferença, temos:
Temos então o seguinte:
Como é impar e é uma funções par, então:
Temos que não é igual a nem a e, portanto, a diferença de uma função ímpar e uma par não é nem par nem par.
Passo 8
A outra parte da propriedade 2 diz o seguinte:
O produto (quociente) de tais funções é ímpar.
Vamos considerar uma . Temos que:
Temos então o seguinte:
Como e são funções impares, então:
Temos então que o produto de uma função ímpar e par é ímpar.
Passo 9
Fazendo para o quociente, temos:
Temos então o seguinte:
Como e são funções impares, então:
Temos então que o quociente de uma função par e ímpar é ímpar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)