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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 22

Em cada um dos problemas de 15 a 22:

(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

22.

f x = L - x ,             0 < x < L       s é r i e   e m   s e n o s ,   p e r í o d o   2 L  

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = L - x ,             0 ≥ x ≥ L

Queremos encontrar a série de Fourier para senos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar o coeficiente b n para a extensão impar de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular o coeficiente b n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x                           n = 1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Para este caso, L = L .

Passo 3

Agora, vamos calcular b n . Assim temos que:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 2 L ∫ 0 L L - x sen ⁡ n π x L d x

b n = 2 ∫ 0 L sen ⁡ n π x L d x - 2 L ∫ 0 L x sen ⁡ n π x L d x

b n = 2 - L n π cos ⁡ n π x L 0 L - 2 L - L x n π cos ⁡ n π x L + L n π 2 sen ⁡ n π x L 0 L

b n = 2 - L n π cos ⁡ n π - - L n π cos ⁡ 0 - 2 L - L 2 n π cos ⁡ n π + L n π 2 sen ⁡ n π - - 0 cos ⁡ 0 + L n π 2 sen ⁡ 0

Temos que sen ⁡ 0 = 0 e que sen ⁡ n π sempre será 0 e que cos ⁡ 0 = 1 . Assim temos que:

b n = 2 - L n π cos ⁡ n π - - L n π - 2 L - L 2 n π cos ⁡ n π

b n = 2 L n π - 2 L n π cos ⁡ n π + 2 L n π cos ⁡ n π

b n = 2 L n π

Passo 4

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 2, temos que a série de Fourier para um a extensão par de f x é a seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 L n π sen ⁡ n π x L

f x = 2 L π ∑ n = 1 ∞ 1 n sen ⁡ n π x L

Resposta

f x = 2 L π ∑ n = 1 ∞ 1 n sen ⁡ n π x L

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