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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 12

Determine se a série converge ou diverge.

∑ k = 1 ∞ ( 2 k - 1 ) ( k 2 - 1 ) ( k + 1 ) ( k 2 + 4 ) ²

Passo 1

Vamos resolver essa questão pelo teste da comparação. Porque? Você deve estar se perguntando...Simplesmente porque essa seção do seu livro foca nesse método de resolução. “Ta! Até aí tudo bem. Mas como posso saber quando eu devo utilizar esse método ?”Bom, para utilizar esse método, duas coisas devem acontecer. Primeiro, tem que ser possível encontrar uma série parecida com a série dada. O segundo passo é ser possível identificar a convergência ou divergência dessa série com facilidade.

Agora vamos nos recordar o que é o teste da comparação.Vamos descobrir se uma série qualquer converge ou diverge a partir da comparação de seus termos parciais com uma outra série que sabemos convergir ou divergir.Tranquilo demais né? 😎Então vamos colocar a mão na massa?

Passo 2

A série que precisamos analisar será chamada de a n e é a seguinte:

∑ a n = ∑ k = 1 ∞ ( 2 k - 1 ) ( k 2 - 1 ) ( k + 1 ) ( k 2 + 4 ) ²

Porém, da forma que ela está escrita fica mais difícil fazer qualquer tipo de análise. Por isso, vamos primeiro abrir os termos da série. E assim obtemos:

∑ k = 1 ∞ ( 2 k - 1 ) ( k 2 - 1 ) ( k + 1 ) ( k 2 + 4 ) ² = ∑ k = 1 ∞ 2 k 3 - k 2 - 2 k + 1 k 5 + k 4 + 16 k 2 + 16

Precisamos encontrar uma série que seja parecida com essa e que seja fácil descobrir a convergência. Chamaremos essa série de comparação de ∑ b n . Uma estratégia comum para encontrar b n é identificar os termos de maior potência do numerador e do dominador e fazer uma série com eles. Logo:

∑ b n = ∑ k = 1 ∞ 2 k 3 k 5 = ∑ k = 1 ∞ 2 k 2

A série que tomamos de referência é uma p-série com p   >   1 . Vamos nos recordar que toda série do tipo ∑ n = 1 ∞ 1 n p   é chamada de série harmônica. O numerador não interfere, desde que ele seja constante. E por definição ela segue a seguinte regra: Se p é maior que zero, mas menor ou igual a 1 , então a série diverge. Se p for maior que 1 a série converge.Ou seja, nossa série de comparação é convergente.

Passo 3

Podemos fazer a comparação, entre a série dada do exercício e a série que encontramos.

Se substituirmos os valores em k e realizarmos essas somas, percebemos que

∑ k = 1 ∞ ( 2 k - 1 ) ( k 2 - 1 ) ( k + 1 ) ( k 2 + 4 ) ² <   ∑ k = 1 ∞ 2 k 2

Veja, para k = 1 , temos:

1 50 < 2

E o mesmo acontece para qualquer outro valor de k tendendo ao infinito.Ou seja, temos que a série dada será sempre menor que nossa série de comparação. De modo que: a n < b n

Vamos lembrar o que diz o método da comparação:

“Se b n é convergente e se:

a n < b n

Então a n também converge, se a partir de algum valor qualquer de k essa relação sempre se mantenha.” (O que basicamente diz: a n até pode ser maior que b n no início da soma, mas que tendendo ao infinito b n deve ser maior. Ou seja, a série converge 😎!

Resposta

∑ k = 1 ∞ ( 2 k - 1 ) ( k 2 - 1 ) ( k + 1 ) ( k 2 + 4 ) ²   é   c o n v e r g e n t e

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