Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas.

∑ n = 2 ∞ 1 n l n   n  

Passo 1

Precisamos escolher o método de comparação mais fácil para descobrirmos se a série é divergente ou convergente.

Vamos comparar a partir do teste dos limites, utilizando o enésimo termo de uma série harmônica divergente 1 / n .

l i m n → ∞ 1 n l n   n   1 n   = l i m n → ∞ n n   l n   n   = l i m n → ∞ n l n   n      

Agora precisamos derivar a função em cima e em baixo para simplificá-la:

l i m n → ∞ d d n n d d n l n   n     = l i m n → ∞ 1 2 n 1 n   = 1 2 l i m n → ∞ n n  

∴ 1 2 l i m n → ∞ n   = ∞

Portanto a função diverge, pois o limite da divisão entre os termos é .

Vamos continuar.

Resposta

Diverge.

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