33-36. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

36. Se f(x) = x^2 (x^4 - x) , então:

f''(x) = d/dx [x^2] . d/dx [x^4 - x] = 2x [4x^3 - 1]

Passo 1

Então pessoal, o que devemos fazer aqui é descobrir f ' ' x a partir da função f x que nos foi dada e comparar com o resultado que o enunciado dá para ver se bate ou não, ok? Então bora lá! Nossa função é a seguinte:

f x = x 2 x 4 - x

Fazendo a distributiva, teremos:

f x = x 6 - x 3

Beleza, demos uma simplificada na função. Para derivarmos a primeira e a segunda vez vamos utilizar a regra da potência, que é dada da seguinte forma:

d d x x n = n . x n - 1

Sabendo disso já podemos partir pra derivação!

Passo 2

Derivando pela primeira vez, teremos:

f ' x = 6 . x 6 - 1 - 3 . x 3 - 1

f ' x = 6 x 5 - 3 x 2

Beleza, descobrimos a primeira derivada! Agora derivando pela segunda vez, teremos:

f ' ' x = 6.5 x 5 - 1 - 3.2 x 2 - 1

f ' ' x = 30 x 4 - 6 x

O resultado dado pelo enunciado é o seguinte:

f ' ' x = 2 x 4 x 3 - 1 = 8 x 4 - 2 x

Que, claramente, é diferente do resultado que encontramos! Sendo assim, podemos concluir que a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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