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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 1d

d) int s e n (2 x) cos^2 (2 x) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem comum de aparecer, então vamos entender a ideia para resolver.

Primeiro vamos fazer a seguinte substituição:

u = c o s ( 2 x )

Derivando,

d u = - s e n (2 x) * 2 d x

Isolando o termo que nos interessa:

- (d u)/(2) = s e n (2 x) d x

Essa ideia é boa, pois temos o termo s e n (2 x) d x na nossa integral 😉

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral era:

I = int s e n (2 x) * cos^2 (2 x) d x = int cos^2 ( 2 x ) * sen (2 x) d x

E vai ficar assim ó:

I = int u^2 (- (d u)/(2)) = - (1)/(2) * int u^2 d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora bora finalizar!

I = - (1)/(2) * int u^2 d u = - (1)/(2) * ((u^(2 + 1))/(2 + 1)) + c = - (1)/(2) * (u^3)/(3) + c

Voltando para a variável c o s ( x ) :

I = - (cos^3 (2 x))/(6) + c

Resposta

- (cos^3 (2 x))/(6) + c

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