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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 1g

g) int s e n^2 (2 x) cos^2 (3 x) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem difícil, então vamos com calma pra você entender tudo.

Da trigonometria, temos:

s e n (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (s e n (a + b) + s e n (a - b))

Queremos integrar o seguinte:

E = s e n^2 (2 x) * cos^2 (3 x) = (s e n (2 x) * cos (3 x))^2

Viu que ta parecido?! Então vamos usar relação!!

Passo 2

Transformando de produto em soma, temos:

E = ((1)/(2) * (s e n (5 x) + s e n (- x)))^2 = ((1)/(2) * (s e n (5 x) - s e n (x)))^2

Logo,

E = (1)/(4) * (s e n^2 (5 x) - 2 * s e n (5 x) * s e n (x) + s e n^2 (x))

Mas da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos (2 x) = 1 - 2 * s e n^2 (x) -> s e n^2 (x) = (1 - cos (2 x))/(2)

Usando na nossa expressão:

E = (1)/(4) * ((1 - cos (10 x))/(2) - 2 * s e n (5 x) * s e n (x) + (1 - cos (2 x))/(2))

Iremos usar só mais uma relação pra finalizar:

s e n (a) * s e n (b) = (1)/(2) * (c o s (a - b) - c o s (a + b))

Nossa termo s e n (5 x) * s e n (x) vai ficar assim ó:

s e n (5 x) * s e n (x) = (1)/(2) * (cos (4 x) - c o s (6 x))

Voltando para expressão E :

E = (1)/(4) * ((1 - cos (10 x))/(2) - 2 * ((1)/(2) * (cos (4 x) - c o s (6 x))) + (1 - cos (2 x))/(2))

Assim,

E = (1)/(4) * (1 - (cos (10 x))/(2) - cos (4 x) + cos (6 x) - (cos (2 x))/(2))

Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora bora finalizar!

Nossa integral era:

I = int s e n^2 (2 x) cos^2 (3 x) d x

E vai ficar assim:

I = int (1)/(4) * (1 - (cos (10 x))/(2) - cos (4 x) + cos (6 x) - (cos (2 x))/(2)) d x

Isto é,

I = (1)/(4) * (int d x - int (cos (10 x))/(2) d x - int cos (4 x) d x + int cos (6 x) d x - int (cos (2 x))/(2)) d x

Integrando:

I = (1)/(4) * (x - (sen (10 x))/(20) - (sen (4 x))/(4) + (sen (6 x))/(6) - (sen (2 x))/(4)) + c

Logo,

I = (x)/(4) - (sen (10 x))/(80) - (sen (4 x))/(16) + (sen (6 x))/(24) - (sen (2 x))/(16) + c

Resposta

I = (x)/(4) - (sen (10 x))/(80) - (sen (4 x))/(16) + (sen (6 x))/(24) - (sen (2 x))/(16) + c

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d)int c o s (x) sen (2 x) d x
g)int c o s (x) * c o s (2 x) * c o s ( 3 x ) d x