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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 1f

f) int cos^2 (2 x) s e n^2 (2 x) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem importante, então vamos com calma pra você entender tudo.

Da trigonometria, temos:

s e n (2 x) = 2 * s e n (x) * cos (x) -> s e n (x) * cos (x) = (s e n (2 x))/(2)

Queremos integrar o seguinte:

E = cos^2 (2 x) * s e n^2 (2 x)

Viu que ta parecido?! Então vamos usar relação!!

Passo 2

Nossa expressão é o seguinte:

E = cos^2 (2 x) * s e n^2 (2 x) = (s e n (2 x) * c o s ( 2 x ))^2

Usando a relação ali de cima:

E = ((s e n (4 x))/(2))^2 = (1)/(4) * s e n^2 ( 4 x )

Mas da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos (2 x) = 1 - 2 * s e n^2 (x) -> s e n^2 (x) = (1 - cos (2 x))/(2)

Usando na nossa expressão:

E = (1)/(4) * (1 - cos (8 x))/(2)

Essas relações trigonométricas do c o s ( 2 x ) e s e n ( 2 x ) são bem importantes!! Então já deixa na manga.

Assim,

E = (1)/(8) * (1 - cos (8 x))

Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora bora finalizar!

Nossa integral era:

I = int cos^2 (2 x) * s e n^2 (2 x) d x

E vai ficar assim:

I = int (1)/(8) * (1 - cos ( 8 x) d x = (1)/(8) * int d x - (1)/(8) * int cos (8 x) d x

Integrando:

I = (1)/(8) * x - (1)/(8) * (s e n (8 x))/(8) + c

Logo,

I = (x)/(8) - (s e n (8 x))/(64) + c

Resposta

(x)/(8) - (s e n (8 x))/(64) + c

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