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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 1h

h) int cos (x) cos^2 (4 x) d x

Passo 1

Essa questão vai tem que ser feita com calma para você não ir para o caminho errado!!

Lá da trigonometria, a gente sabe o seguinte:

cos (2 x) = 2 * cos^2 (x) - 1

Isolando cos^2 ( x ) :

cos^2 (x) = (cos (2 x) + 1)/(2)

Viu que podemos transformar o cos^2 (4 x) numa coisa melhor de integrar?!

Passo 2

Usando essa ideia aí de cima, temos:

E = cos (x) * cos^2 (4 x) = cos (x) * (cos (2 * (4 x)) + 1)/(2) = cos (x) * (cos (8 x) + 1)/(2)

Fazendo a distributiva:

E = (cos (x) * cos (8 x))/(2) + (cos (x))/(2)

Podemos transformar esse primeiro termo de produto em soma, olha só:

Lembrete: c o s (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (c o s (a + b) + c o s (a - b))

cos (x) * cos (8 x) = (1)/(2) * (cos (9 x) + cos (- 7 x)) = (1)/(2) * ( cos (9 x) + cos (7 x) )

Então nossa expressão fica assim:

E = ((1)/(2) * ( cos (9 x) + cos (7 x) ))/(2) + (cos (x))/(2) = (1)/(4) * cos (9 x) + (1)/(4) * cos (7 x) + (1)/(2) * cos (x)

Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora bora finalizar!

Nossa integral era:

I = int cos (x) cos^2 (4 x) d x

E vai ficar assim:

I = int ((1)/(4) * cos (9 x) + (1)/(4) * cos (7 x) + (1)/(2) * cos (x)) d x

Isto é,

I = (1)/(4) * int cos (9 x) d x + (1)/(4) * int cos (7 x) d x + (1)/(2) * int cos (x) d x

Integrando:

I = (1)/(4) * (s e n (9 x))/(9) + (1)/(4) * (s e n (7 x))/(7) + (1)/(2) * s e n ( x ) + c

Logo,

I = (s e n (9 x))/(36) + (s e n (7 x))/(28) + (s e n (x))/(2) + c

Resposta

I = (s e n (9 x))/(36) + (s e n (7 x))/(28) + (s e n (x))/(2) + c

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2. Seja f x uma função contínua. b) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral ∫ f c o s ⁡ ( x ) ⋅ s e n x d x em - ∫ f u d u
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2. Seja f x uma função contínua. a) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral ∫ f s e n x ⋅ cos ⁡ x d x em ∫ f u d u
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