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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 1e

e) int s e n^2 ( x ) cos^4 (x) d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem difícil, então vamos com calma.

Da trigonometria, temos:

s e n (2 x) = 2 * s e n (x) * cos (x) -> s e n (x) * cos (x) = (s e n (2 x))/(2)

Queremos integrar o seguinte:

E = s e n^2 (x) * cos^4 (x) = s e n^2 (x) * cos^2 (x) * cos^2 (x)

Logo,

E = ((s e n (2 x))/(2))^2 cos^2 (x) = ((s e n (2 x) * cos (x))/(2))^2

Passo 2

Calma que essa é cascuda!!

Lembrete:

s e n (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (s e n (a + b) + s e n (a - b))

Usando essa lembrete, vai ficar assim:

s e n (2 x) * cos (x) = (1)/(2) * (s e n (3 x) + s e n (x))

Logo,

E = ((1)/(2) * ((s e n (3 x) + s e n (x)))/(2))^2 = (1)/(16) * (s e n^2 (3 x) + 2 * s e n (3 x) * s e n (x) + s e n^2 (x))

Da trigonometria:

cos (2 x) = 1 - 2 * s e n^2 (x) -> s e n^2 (x) = (1 - cos (2 x))/(2)

Então,

s e n^2 (3 x) = (1 - cos (6 x))/(2)

E

s e n^2 (x) = (1 - cos (x))/(2)

Nossa expressão ta assim ó:

E = (1)/(16) * ((1 - cos (6 x))/(2) + 2 * s e n (3 x) * s e n (x) + (1 - cos (x))/(2))

Só mais uma coisinha!!

Lembrete:

s e n (a) * s e n (b) = (1)/(2) * (c o s (a - b) - c o s (a + b))

2 * s e n (3 x) * s e n (x) = 2 * (1)/(2) * (cos (2 x) - cos (4 x))

Nossa expressão fica assim:

E = (1)/(16) * ((1 - cos (6 x))/(2) + cos (2 x) - cos (4 x) + (1 - cos (x))/(2))

Ufa!!

Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora bora finalizar!

E = (1)/(16) * ((1 - cos (6 x))/(2) + cos (2 x) - cos (4 x) + (1 - cos (x))/(2))

Fazendo as contas:

E = (1)/(16) * (- (cos (6 x))/(2) + cos (2 x) - cos (4 x) - (cos (x))/(2) + 1)

Integrando:

I = int s e n^2 (x) cos^4 (x) d x = int (1)/(16) * (- (cos (6 x))/(2) + cos (2 x) - cos (4 x) - (cos (x))/(2) + 1) d x

Logo,

I = (1)/(16) * (- (sen (6 x))/(12) + (s e n (2 x))/(2) - (s e n (4 x))/(4) - (sen (x))/(2) + x) + c

Resposta

(1)/(16) * (- (sen (6 x))/(12) + (s e n (2 x))/(2) - (s e n (4 x))/(4) - (sen (x))/(2) + x) + c

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c) int (s e n (x))/(c o s^5 (x)) d x
d) int (s e n^3 (x))/(cos (x)) d x
b) int cos^3 (x) (1 + sqrt(s e n (x))) d x
Calculeint (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x
Calculeint (1)/(4 + x^2) d x