e) int s e n^2 ( x ) cos^4 (x) d x Passo 1Esse tipo de questão é bem difícil, então vamos com calma. Da trigonometria, temos: s e n (2 x) = 2 * s e n (x) * cos (x) -> s e n (x) * cos (x) = (s e n (2 x))/(2) Queremos integrar o seguinte: E = s e n^2 (x) * cos^4 (x) = s e n^2 (x) * cos^2 (x) * cos^2 (x) Logo, E = ((s e n (2 x))/(2))^2 cos^2 (x) = ((s e n (2 x) * cos (x))/(2))^2 Passo 2Calma que essa é cascuda!! Lembrete: s e n (a) * c o s (b) = (1)/(2) * (s e n (a + b) + s e n (a - b)) Usando essa lembrete, vai ficar assim: s e n (2 x) * cos (x) = (1)/(2) * (s e n (3 x) + s e n (x)) Logo, E = ((1)/(2) * ((s e n (3 x) + s e n (x)))/(2))^2 = (1)/(16) * (s e n^2 (3 x) + 2 * s e n (3 x) * s e n (x) + s e n^2 (x)) Da trigonometria: cos (2 x) = 1 - 2 * s e n^2 (x) -> s e n^2 (x) = (1 - cos (2 x))/(2) Então, s e n^2 (3 x) = (1 - cos (6 x))/(2) E s e n^2 (x) = (1 - cos (x))/(2) Nossa expressão ta assim ó: E = (1)/(16) * ((1 - cos (6 x))/(2) + 2 * s e n (3 x) * s e n (x) + (1 - cos (x))/(2)) Só mais uma coisinha!! Lembrete: s e n (a) * s e n (b) = (1)/(2) * (c o s (a - b) - c o s (a + b)) 2 * s e n (3 x) * s e n (x) = 2 * (1)/(2) * (cos (2 x) - cos (4 x)) Nossa expressão fica assim: E = (1)/(16) * ((1 - cos (6 x))/(2) + cos (2 x) - cos (4 x) + (1 - cos (x))/(2)) Ufa!! Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + c Passo 3Agora bora finalizar! E = (1)/(16) * ((1 - cos (6 x))/(2) + cos (2 x) - cos (4 x) + (1 - cos (x))/(2)) Fazendo as contas: E = (1)/(16) * (- (cos (6 x))/(2) + cos (2 x) - cos (4 x) - (cos (x))/(2) + 1) Integrando: I = int s e n^2 (x) cos^4 (x) d x = int (1)/(16) * (- (cos (6 x))/(2) + cos (2 x) - cos (4 x) - (cos (x))/(2) + 1) d x Logo, I = (1)/(16) * (- (sen (6 x))/(12) + (s e n (2 x))/(2) - (s e n (4 x))/(4) - (sen (x))/(2) + x) + c Resposta (1)/(16) * (- (sen (6 x))/(12) + (s e n (2 x))/(2) - (s e n (4 x))/(4) - (sen (x))/(2) + x) + c MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionadosc) int (s e n (x))/(c o s^5 (x)) d xd) int (s e n^3 (x))/(cos (x)) d xb) int cos^3 (x) (1 + sqrt(s e n (x))) d xCalculeint (x)/(sqrt(1 - x^2)) d xCalculeint (1)/(4 + x^2) d xVer TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Substituição TrigonométricaVer exercício 7.7 - 9lVer exercício 12.9 - 3d