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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.9 - Ex. 3f

f) int (cos (x))/(1 + s e n^2 (x)) d x

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = int (cos (x))/(1 + s e n^2 (x)) d x

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = s e n ( x )

Derivando,

d u = c o s (x) d x

Isolando o fator cos ( x ) d x , temos:

int (cos (x))/(1 + s e n^2 (x)) d x = int (1)/(1 + s e n^2 (x)) * cos (x) d x

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = int (1)/(1 + s e n^2 (x)) * cos (x) d x

Indo para variável u :

I = int (1)/(1 + u^2) d u

Não esquece: int (1)/(1 + u^2) d u = arctg (u) + c , eu sei que é difícil, mas dá um jeitinho de guardar!!

Integrando, temos:

I = arctg (u) + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = arctg (s e n (x)) + c

Resposta

arctg (s e n (x)) + c

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