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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 1i

Calcule

int (1)/(x sqrt(1 + x^2)) d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f (x) = sqrt(1 + x^2)

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo theta como esse:

Agora imagine que um dos catetos vale 1, e o outro cateto vale x , concorda comigo que a hipotenusa vai valer sqrt(1 + x^2) ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que (sqrt(1 + x^2))/(1) = sec theta então (x)/(1) = tan theta -> d x = 1 sec^2 theta d theta

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

int (1)/(x sqrt(1 + x^2)) d x = int (1)/(tan theta sec theta) xx sec^2 theta d theta = int (sec theta)/(tan theta) d theta = int (1)/(cos theta) xx (cos theta)/(sin theta) d theta

= int (1)/(sin theta) d theta = int csc theta d theta

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Agora só precisamos achar o valor de int csc theta d theta

Pra isso vamos fazer assim:

int csc theta ((csc theta - cot theta))/((csc theta - cot theta)) d theta = int ((csc^2 theta - csc theta cot theta))/((csc theta - cot theta)) d theta

Que é exatamente:

(d (csc theta - cot theta))/(d theta) = (csc^2 theta - csc theta cot theta)

Podemos substituir pela variável w = (csc theta - cot theta) -> d w = (csc^2 theta - csc theta cot theta) d theta

Assim:

int ((csc^2 theta - csc theta cot theta))/((csc theta - cot theta)) d theta = int (1)/(w) d w = ln | w | + k = ln |csc theta - cot theta| + k

Substituindo, teremos:

int csc theta d theta = ln |csc theta - cot theta| + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , lembrando:

(x)/(sqrt(1 + x^2)) = sin theta e (x)/(1) = tan theta

E que:

csc theta = (1)/(sin theta) e cot theta = (1)/(tan theta)

Assim:

int csc theta d theta = ln |csc theta - cot theta| + k

int (1)/(x sqrt(1 + x^2)) d x = ln |(sqrt(1 + x^2))/(x) - (1)/(x)| + k

int (1)/(x sqrt(1 + x^2)) d x = ln |(sqrt(1 + x^2) - 1)/(x)| + k

Resposta

int (1)/(x sqrt(1 + x^2)) d x = ln |(sqrt(1 + x^2) - 1)/(x)| + k

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