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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 1b

Calcule

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f (x) = sqrt(4 - x^2)

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo theta como esse:

Agora imagine que a hipotenusa vale 2, e um dos catetos vale x , concorda comigo que o outro vai valer sqrt(4 - x^2) ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que (sqrt(4 - x^2))/(2) = cos theta então (x)/(2) = sin theta -> d x = 2 cos theta d theta

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x = 2 int (1)/(2 cos theta) xx c o s theta d theta = int 1 d theta

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Podemos, agora, integrar:

int 1 d theta = theta

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , pra isso vamor lembrar que:

(x)/(2) = sin theta -> arcsin ((x)/(2)) = theta

Assim:

theta = arcsin ((x)/(2))

Temos, então:

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x = arcsin ((x)/(2))

Lemrabdno sempre da constante:

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x = arcsin ((x)/(2)) + k

Resposta

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x = arcsin ((x)/(2)) + k

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