Calcule

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f (x) = sqrt(4 + x^2)

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo theta como esse:

Agora imagine que um dos catetos vale 2, e o outro cateto vale x , concorda comigo que a hipotenusa vai valer sqrt(4 + x^2) ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que (sqrt(4 + x^2))/(2) = sec theta então (x)/(2) = tan theta -> d x = 2 sec^2 theta d theta

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = int (1)/(2 sec theta) xx 2 sec^2 theta d theta = int sec theta d theta

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Agora só precisamos achar o valor de int sec theta d theta

Pra isso vamos fazer assim:

int sec theta ((sec theta + tan theta))/((sec theta + tan theta)) d theta = int ((sec^2 theta + sec theta tan theta))/((sec theta + tan theta)) d theta

Que exatamente:

(d (sec theta + tan theta))/(d theta) = (sec^2 theta + sec theta tan theta)

Podemos substituir pela variável w = sec theta + tan theta -> d w = (sec^2 theta + sec theta tan theta) d theta

Assim:

int ((sec^2 theta + sec theta tan theta))/((sec theta + tan theta)) d theta = int (1)/(w) d w = ln | w | + k = ln |sec theta + tan theta| + k

Substituindo, teremos:

int sec theta d theta = ln |sec theta + tan theta| + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , lembrando:

(sqrt(4 + x^2))/(2) = sec theta e (x)/(2) = tan theta

Assim:

int sec theta d theta = ln |sec theta + tan theta| + k

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = ln |(sqrt(4 + x^2))/(2) + (x)/(2)| + k

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = ln |(sqrt(4 + x^2) + x)/(2)| + k

Lembrando que

ln |(a)/(b)| = ln |a| - ln |b|

Assim, podemos reescrever a função como:

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = ln |sqrt(4 + x^2) + x| - ln |2| + k

Como ln 2 se trata de um número, podemos considera-lo como parte da constante:

k - ln 2 = c

E substituir:

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = ln |sqrt(4 + x^2) + x| + c

Resposta

int (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x = ln |sqrt(4 + x^2) + x| + c

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