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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 41

37-48. Calcule a integral.

41. int (d x)/(sqrt(x^2 - 6 x + 10))

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

x^2 - 6 x + 10 = x^2 - 6 x + 9 + 1

x^2 - 6 x + 10 = (x - 3)^2 + 1

Substituindo na nossa integral:

int (d x)/(sqrt(x^2 - 6 x + 10)) = int (d x)/(sqrt((x - 3)^2 + 1))

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x - 3

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

int (d x)/(sqrt((x - 3)^2 + 1)) = int (d u)/(sqrt(u^2 + 1))

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

int (d u)/(sqrt(u^2 + 1)) = ln |u + sqrt(u^2 + a^2)| + C

Como u = x - 3 e a = 1 , então:

int (d x)/(sqrt(x^2 - 6 x + 10)) = ln |(x - 3) + sqrt((x - 3)^2 + 1)| + C

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

int (d x)/(sqrt(x^2 - 6 x + 10)) = ln |(x - 3) + sqrt((x - 3)^2 + 1)| + C

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