Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 48
37-48. Calcule a integral.
48.
Passo 1
Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:
Substituindo na nossa integral:
Agora sim conseguimos resolver!
Passo 2
Para resolver essa “nova” integral que encontramos, vamos utilizar uma substituição trigonométrica do tipo:
Pois a raíz que aparece pra gente é do tipo:
Show! A raíz que nos foi dada é , então se compararmos com a raíz acima teremos os seguintes valores:
E disso tiramos que:
Substituindo esses valores na nossa integral, teremos:
Simplificando:
Show, demos uma simplificada na nossa integral. Agora sim ficou interessante!
Passo 3
Aqui vamos substituir o por uma relação da trigonometria, pessoal! A relação é essa aqui ó:
Substituindo esse resultado na nossa integral, teremos:
E disso temos:
A primeira integral é de boa resolvermos, né? Para a segunda vamos fazer uma substituição simples, se liga:
Substituindo na integral:
Voltando à variável :
Passo 4
Agora para a primeira integral, temos:
Somando o resultado das duas integrais, teremos:
Da substituição trigonométrica feita no início da resolução, temos a seguinte relação:
E para :
Logo, nosso resultado final será:
E é isso, pessoal! 😉