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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 19

Calcule a integral indefinida:

int (sec^2 x d x)/((4 - tan^2 x)^((3)/(2)))

Passo 1

Pessoal, essa integral será resolvida pelo método da substituição trigonométrica, porém, antes devemos fazer uma substituição simples. Seja u = tan x -> d u = sec^2 x d x , então:

int (sec^2 x d x)/((4 - tan^2 x)^((3)/(2))) = int (d u)/((4 - u^2)^((3)/(2)))

Agora podemos utilizar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos 2^2 - (u)^2 no denominador, isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser u = 2 sen theta . Façamos então a substituição:

[[u,=,2 sen theta],[d,u,=,2,cos theta,d,theta]]

Dessa forma, - (u)^2 = - 4 sen^2 theta -> 4 - (u)^2 = 4 - 4 sen^2 theta = 4 ( 1 - sen^2 theta ) = 2^2 cos^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

int (d u)/((4 - u^2)^((3)/(2))) = int (2 cos theta d theta)/((2^2 cos^2 theta)^((3)/(2))) = (2)/(2^3) int (cos theta d theta)/(cos^3 theta) = (1)/(4) int (d theta)/(cos^2 theta) = (1)/(4) int sec^2 theta d theta = (1)/(4) tan theta + C

Lembre-se que ( tan theta ) ' = sec^2 theta .

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo u = 2 sen theta , para achar tan theta nós olhamos o triângulo da substituição com s e n construído no início e utilizamos relações trigonométricas da tangente. Temos então:

tan theta = (u)/(sqrt(a^2 - u^2)) -> tan theta = (u)/(sqrt(4 - ( u )^2))

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando u , então basta trocar. Dessa forma,

int (sec^2 x d x)/((4 - tan^2 x)^((3)/(2))) = (1)/(4) tan theta + C = (u)/(4 sqrt(4 - ( u )^2)) + C

Também fizemos a substituição u = tan x , logo, o resultado será:

int (sec^2 x d x)/((4 - tan^2 x)^((3)/(2))) = (tan x)/(4 sqrt(4 - ( tan x )^2)) + C

Resposta

int (sec^2 x d x)/((4 - tan^2 x)^((3)/(2))) = (tan x)/(4 sqrt(4 - ( tan x )^2)) + C

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