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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 17

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((3)/(2)))

Passo 1

Pessoal, essa integral é resolvida por substituição trigonométrica, mas, antes, devemos completar o quadrado na expressão do denominador, vejamos como.

5 - 4 x - x^2 = - (x^2 + 4 x + 4) + 9 = - (x + 2)^2 + 9 = 9 - (x + 2)^2

Com isso, a integral fica:

int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((3)/(2))) = int (d x)/((9 - (x + 2)^2)^((3)/(2)))

Agora podemos usar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar. Como nós temos 3^2 - (x + 2)^2 no denominador, isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x + 2 = 3 sen theta . Façamos então a substituição:

[[x,+,2,=,3,sen theta],[d,x,=,3,cos theta,d,theta]]

Dessa forma, - (x + 2)^2 = - 9 sen^2 theta -> 9 - (x - 2)^2 = 9 - 9 sen^2 theta = 9 ( 1 - sen^2 theta ) = 3^2 cos^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

int (d x)/((9 - (x - 2)^2)^((3)/(2))) = int (3 cos theta d theta)/((3^2 cos^2 theta)^((3)/(2))) = int (3 cos theta)/(3^3 cos^3 theta) d theta = (1)/(9) int sec^2 theta d theta = (1)/(9) tan theta + C

Lembre-se que ( tan theta ) ' = sec^2 theta .

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x + 2 = 3 sen theta , para achar tan theta nós olhamos o triângulo da substituição com s e n construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

tan theta = (x)/(sqrt(a^2 - x^2)) -> tan theta = (x + 2)/(sqrt(9 - ( x + 2 )^2))

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando x + 2 , então basta trocar. Dessa forma, o resultado da integral será:

int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((3)/(2))) = (1)/(9) (x + 2)/(sqrt(9 - ( x + 2 )^2)) + C = (1)/(9) (x + 2)/(sqrt(5 - 4 x - x^2)) + C

Prontinho.

Resposta

int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((3)/(2))) = (1)/(9) (x + 2)/(sqrt(5 - 4 x - x^2)) + C

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