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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 86

Calcule a integral definida.

int_0^1 x^3 sqrt(1 + x^2) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = int_0^1 x^3 sqrt(1 + x^2) d x

Antes de qualquer coisa, você precisa reescrever a integral:

I = int_0^1 x^2 sqrt(1 + x^2) x d x

Note que se você chamar t = 1 + x^2 , segue que d t = 2 x d x => x d x = d t // 2 . Além disso, x^2 = t - 1 :

I = (1)/(2) int_1^2 (t - 1) sqrt(t) d t

Não esqueça de alterar os limites de integração para a nova variável!

Passo 2

Agora a integração é simples:

I = (1)/(2) int_1^2 (t^((3)/(2)) - t^((1)/(2))) d t

Portanto,

I = (1)/(2) ((2)/(5) t^((5)/(2)) - (2)/(3) t^((3)/(2)))_1^2 = ((1)/(5) t^2 sqrt(t) - (1)/(3) t sqrt(t))_1^2

Passo 3

Desta forma, substituindo os extremos:

I = (1)/(5) * 4 sqrt(2) - (1)/(3) * 2 sqrt(2) - (1)/(5) + (1)/(3)

Portanto,

I = sqrt(2) ((4)/(5) - (2)/(3)) + (1)/(3) - (1)/(5) = sqrt(2) ((12 - 10)/(15)) + ((5 - 3)/(15))

Logo,

I = (2 sqrt(2))/(15) + (2)/(15) = (2)/(15) (1 + sqrt(2))

Resposta

(2)/(15) (1 + sqrt(2))

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