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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 22

Calcule a integral indefinida:

int (d z)/((z^2 - 6 z + 18)^((3)/(2)))

Passo 1

Pessoal, essa integral é resolvida por substituição trigonométrica, mas, antes, devemos completar o quadrado da expressão do denominador, vejamos como.

z^2 - 6 z + 18 = (z^2 - 6 z + 9) + 9 = (z - 3)^2 + 9

Com isso, a integral fica:

int (d z)/((z^2 - 6 z + 18)^((3)/(2))) = int (d z)/(((z - 3)^2 + 9)^((3)/(2)))

Agora podemos usar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos (z - 3)^2 + 3^2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser z - 3 = 3 tan theta . Façamos então a substituição:

[[z,-,3,=,3 tan theta],[d,z,=,3,sec^2 theta,d,theta]]

Dessa forma, (z - 3)^2 = 3^2 tan^2 theta -> (z - 3)^2 + 9 = 9 tan^2 theta + 9 = 9 ( 1 + tan^2 theta ) = 3^2 sec^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

int (d z)/(((z - 3)^2 + 9)^((3)/(2))) = int (3 sec^2 theta d theta)/((3^2 sec^2 theta)^((3)/(2))) = (3)/(3^3) int (sec^2 theta d theta)/(sec^3 theta) = (1)/(9) int (d theta)/(sec theta) = (1)/(9) int cos theta d theta

= (1)/(9) sen theta + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável z , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo z - 3 = 3 tan theta , para achar sen theta nós olhamos o triângulo da substituição com t a n construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen theta = (x)/(sqrt(a^2 + x^2)) -> tan theta = (z - 3)/(sqrt(9 + ( z - 3 )^2))

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando z - 3 , então basta trocar. Dessa forma, o resultado da integral será:

int (d z)/((z^2 - 6 z + 18)^((3)/(2))) = (1)/(9) sen theta + C = (z - 3)/(9 sqrt(9 + ( z - 3 )^2)) + C = (z - 3)/(9 sqrt(z^2 - 6 z + 18)) + C

Resposta

int (d z)/((z^2 - 6 z + 18)^((3)/(2))) = (z - 3)/(9 sqrt(z^2 - 6 z + 18)) + C

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