Calcule a integral indefinida:

Talvez ainda dê pra simplificar mais esse cara. Afinal, o denominador é um polinômio do segundo grau! Perceba que, se ele fosse:

A gente poderia fazer:

Não é exatamente isso que a gente tem, mas é quase isso! É o suficiente, no entanto, pra gente fazer a seguinte brincadeira:

Afinal, que era o valor que tínhamos antes. Vamos ter então:

E daqui da pra fazer uma outra substituição simples pra reduzir nossa integral. Chamando:

Vamos ter:

Beleza, olha, duas substituições simples depois, ficamos com a integral:

E não é que essa integral tem maior cara de substituição trigonométrica? Saca só essa tabela:

E o nosso caso vai ser exatamente o da última linha! Aqui, vamos ter , logo . Portanto, a substituição trigonométrica que vamos fazer é:

Podemos adiantar algumas contas se usarmos o triângulo auxiliar da tabela. Olhando pra ele, vemos que:

Trazendo pro nosso caso:

E logo:

A essa altura você deve estar cansado de substituições. Te promeeeeeto que essa é a última. A integral que sobrou foi:

Nota o seguinte, seno e cosseno são funções que se relacionam bem através de suas derivadas! Portanto se fizermos a substituição simples:

Transformamos a integral em:

E pronto! Chega de substituições! Agora a gente resolve diretamente:

Vamos resumir essa bagunça hahaha a integral original virou:

Mas a gente não começou exatamente com essa variável né, então vamos rever as substituições que fizemos, na ordem:

Vamos escrever pra voltar pra variável original. Pelo triângulo auxiliar no passo , vemos que:

Como , temos:

Como , temos:

E logo, nossa integral tem a seguinte resposta: