37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função f .

37- f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

f ´ x = 4 x 3 - 12 x 2 + 8 x

Agora, vamos derivar novamente:

f ´ ´ x = 12 x 2 - 24 x + 8

Pronto, já temos as duas derivadas. Fácil né ?!

Passo 2

Vamos determinar os pontos críticos igualando f ´ ( x ) a zero. Assim, temos:

4 x 3 - 12 x 2 + 8 x = 0

x 4 x 2 - 12 x + 8 = 0

Dessa forma,

x = 0

Ou

4 x 2 - 12 x + 8 = 0

Simplificando....

x 2 - 3 x + 2 = 0

x = 1 e x = 2

-Para x = 0 , temos:

f 0 = 0

-Para x = 1 , temos:

f 1 = 1

-Para x = 2 , temos:

f 2 = 0

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

-Para x = 0 , temos:

f ´ ´ 0 = 8

Isso quer dizer que o ponto ( 0,0 ) é um mínimo relativo.

-Para x = 1 , temos:

f ´ ´ 1 = - 4

Isso quer dizer que o ponto ( 1,1 ) é um máximo relativo.

-Para x = 2 , temos:

f ´ ´ 2 = 8

Isso quer dizer que o ponto ( 2,0 ) é um mínimo relativo.

Resposta

( 0,0 ) mínimo relativo.

( 1,1 ) máximo relativo.

( 2,0 ) mínimo relativo.

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15-18. Verdadeiro/Falso. Suponha que f seja contínua em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.17. Se f''(x)0 , então f terá um mínimo relativo em x = 1
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