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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 39

39. Os pontos (-1,3) e (0,2) estão numa curva e em qualquer ponto (x,y) da curva d 2 y d x 2 = 2 - 4 x

Ache uma equação da curva. (sugestão: faça d 2 y d x 2 = d y   ̕ d x e obtenha uma equação envolvendo y̕ , x e uma contante arbitrária C 1 . Dessa equação, obtenha uma outra envolvendo y, x, C 1 e C 2 . Usando ascondições, calcule C 1 e C 2 .

Passo 1

A nomenclatura d 2 y d x 2 = 2 - 4 x significa que a derivada segunda da equação da curva é 2-4x. Sabendo dessa informação para achar a equação da curva basta integrar ( 2 - 4 x )   duas vezes (chamaremos d 2 y d x 2 de y ’ ’ = F ’ ’ ( x ) ). Agora vamos ao trabalho:

F ' ( x ) = y ' = ∫ F ' ' x d x  

y ' = ∫ 2 - 4 x d x

y ' = ∫ 2   d x - ∫ 4 x   d x

y ' = 2 ∫ 1 d x - 4 ∫ x d x

y ' = 2 x - 4 x 2 2 + c 1

y ' = 2 x - 2 x 2 + c 1

Agora temos a derivada primeira da equação da curva. Para chegar na própria equação da curva(primitiva) basta integrar     y ’ .

F x = y = ∫ 2 x - 2 x 2 + c 1 d x

y = ∫ ( 2 x ) d x - ∫ ( 2 x 2 ) d x + ∫ c 1 d x

y = 2 ∫ ( x ) d x - 2 ∫ ( x 2 ) d x + c 1 ∫ c 1 d x

y = 2 x 2 2 - 2 x 3 3 + c 1 x + c 2

y = x 2 - 2 x 3 3 + c 1 x + c 2

Agora que encotramos a parte da equação da curva, vamos ao próximo passo.

Passo 2

Para encotrar c 2 utilizaremos um dos dois pontos que nos foram dados. Para ser mais específico usaremos o ponto (0,2). Isso significa que quando x = 0 , y = 2 . Dessa forma aplicamos a equação encontrada no passo anterior.

y = x 2 - 2 x 3 3 + c 1 x + c 2

2 = 0 2 - 2.0 3 3 + c 1 . 0 + c 2

c 2 = 2

Com essa informação podemos escrever a primitiva (equação da curva) aplicando c 2 .

y = x 2 - 2 x 3 3 + c 1 x + 2

Agora, para encontrar a primitiva basta achar c 1 .

Passo 3

Para encontrar c 1 usaremos o segundo ponto que nos foi dado (-1,3). Aplicando essa informação a primitiva obtemos:

y = x 2 - 2 x 3 3 + c 1 x + 2

3 = ( - 1 ) 2 - 2 - 1 3 3 + c 1 ( - 1 ) + 2

3 = 1 + 2 3 - c 1 + 2

- c 1 = - 2 3

c 1 = 2 3

Agora temos todas as informações necessárias para escrever uma equação da curva.

Resposta

A equação da curva é:

y = x 2 - 2 x 3 3 + 2 3 x + 2

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