36. Encontra os valores máximo e mínimo de x 3 + 2 com 0 ≤ x ≤ 3 . Use tais valores, junto as desigualdades do exercício 35, para encontrar cotas no valor da integral

3 2 ≤ ∫ 0 3 x 3 + 2 d x ≤ 3 29

Enunciado

A desigualdade que o problema se refere é essa aqui:

for contínua e se em , então

Vamos chamar e o intervalo vai ser .

Vamos precisar achar os valores máximos e mínimos da função no intervalo .

Para isso precisamos achar a derivada e ver quais valores anulam a derivada, quais valores fazem com que a derivada não exista.

Após isso vamos testar os valores que achamos acima e os pontos extremos do nosso intervalo, no problema são os pontos e .

Vamos derivar .

Para quais valores é igual a zero?

Para

E para quais valores não existe?

Ora precisamos ter

Só que esse valor não está no intervalo, então podemos descartar, então nossas possibilidades de ponto máximo são

Porém esses dois zeros, a gente considera como apenas um, Agora vamos fazer:

Então o ponto de máximo é e o de mínimo é o .

Agora que já sabemos quais são os valores máximo e mínimo da integral, podemos escrever como inequação, dessa forma:

Aplicando a desigualdade do exercício 35, temos:

Ajeitando: