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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 38

Calcule

int_1^2 ((1 + 3 x^2)/(x)) d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

int_1^2 ((1 + 3 x^2)/(x)) d x = int_1^2 (1)/(x) d x + int_1^2 (3 x^2)/(x) d x = int_1^2 (1)/(x) d x + int_1^2 3 x d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int 3 x d x = 3 int x^1 d x , n = 1

3 int x^1 d x = 3 (x^(n + 1))/(n + 1) = 3 (x^((1) + 1))/((1) + 1) = 3 (x^2)/(2) = (3)/(2) x^2

Também temos a integração para o caso particular:

int (1)/(x) d x = ln |x|

Assim:

int_1^2 ((1 + 3 x^2)/(x)) d x = [(3)/(2) x^2 + ln |x|]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [(3)/(2) x^2 + ln |x|] (2)/(1) =

= ((3)/(2) (2)^2 + ln |2| - ((3)/(2) 1^2 + ln 1)) =

Lembrando que ln 1 = 0

= ((3)/(2) xx 4 + ln 2 - (3)/(2)) = 6 + ln 2 - (3)/(2) = (12 - 3)/(2) + ln 2 = (9)/(2) + ln 2

Resposta

int_1^2 ((1 + 3 x^2)/(x)) d x = (9)/(2) + ln 2

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